Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Определение
4.3. Если
предел
,
то функция
называется бесконечно
малойпри
.
Если предел
,
то функция
называется бесконечно
малойпри
.
Пример 4.2. Примеры бесконечно малых функций:
а)
при
;
б)
при
;
в)
при
.
Определение
4.4. Функция
называется бесконечно
большой при
,
если для любого положительного числа
найдется такое положительное число
,
что для всех
,
удовлетворяющих условию
,
выполняется неравенство
.
Обозначают так:
,
причем если
,
то
,
если
,
то
.
Коротко это определение можно записать так:
.
Определение
4.5. Функция
называется бесконечно
большой при
,
если для любого положительного числа
найдется такое положительное число
,
что для всех
,
удовлетворяющих условию
,
выполняется неравенство
.
Обозначают так:
.
Коротко это определение можно записать так:
.
Подобным образом определяются также пределы:
,
,
,
.
Пример 4.3. Примеры бесконечно больших функций:
а)
при
;
б)
при
;
в)
при
.
Односторонние пределы.
Определение
4.6. Число
называется левостороннимпределом
функции
в точке
,
если для любого положительного числа
найдется такое положительное число
,
что для всех
,
удовлетворяющих условию
,
выполняется неравенство
.
Символически это записывают так:
или коротко:
.
Коротко определение левостороннего предела функции можно записать следующим образом:
.
Определение
4.7. Число
называется правостороннимпределом
функции
в точке
,
если для любого положительного числа
найдется такое положительное число
,
что для всех
,
удовлетворяющих условию
,
выполняется неравенство
.
Символически это записывают так:
или коротко:
.
Коротко определение правостороннего предела функции можно записать следующим образом:
.
Справедливо
утверждение: для существования
необходимо и достаточно, чтобы
.
Основные теоремы о пределах функции.
1.
Если
существует и конечен, то он единственный,
и функция в окрестности точки
ограничена.
2.
Для того чтобы функция
имела конечный предел
,
необходимо и достаточно, чтобы в некоторой
окрестности точки
выполнялось равенство
,
где
– бесконечно малая функция при
.
3.
Если функции
и
имеют в точке
конечные пределы, то их сумма, разность,
произведение и частное также будут
иметь конечные пределы в точке
:
,
,
.
Как следствие, постоянный множитель можно выносить за знак предела:
.
Теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших функциях.
1. Сумма (разность) двух бесконечно малых функций также является бесконечно малой функцией.
2. Произведение двух бесконечно малых функций также является бесконечно малой функцией.
3. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию является бесконечно малой функцией.
4.
Если функция
является
бесконечно малой, то функция
является
бесконечно большой. Верно и обратное
утверждение.
5.
Если
и
,
то выполняются соотношения:
–
,
символическая запись
;
–
и
.
6. Если и , то выполняются соотношения:
–
;
–
.
7.
Если
и
,
то выполняются соотношения:
–
;
–
.
8.
Если
и
,
то
.
9.
Если
и
,
то
.
Аналогичные соотношения будут иметь место, если либо .