36
9. 4. Двух- и трехпериодные модели
Рассмотрим случай, когда срок исполнения опциона наступает в конце второго периода.
Введем следующие обозначения (рис. 3): S0 – цена актива в момент времени t = 0;
S1(d) = S0d, S1(u) = S0u – цены актива в момент времени t = 1 в случае соответственно понижения или повышения цены;
S1(u,u) = S0u2 , S1(u,d) = S0ud, S1(d,u) = S0du, S1(d,d) = S0d2 –
цены актива в момент времени t = 2 в зависимости от варианта развития событий (повышение оба раза, повышение–понижение и т.д.);
C0 – цена опциона в момент времени t = 0; X – цена исполнения опциона;
C1(d), C1(u) – цены на опцион в момент времени t = 1 в случае соответственно понижения или повышения цены;
C2(x1,x2) = max{0, S2(x1,x2) – X} – цена опциона в момент времени t = 2 при изменении цены актива по сценарию (x1,x2) (например, C1(u,d) = max{0, S2(u,d) – X}).
|
S0u |
max(0,S0u2–X) |
|
C1(u) |
|
S0 |
S0ud |
max(0,S0ud–X) |
|
C1(d) |
max(0,S0d2–X) |
|
S0d |
|
Рис. 3
37
Фрагменты двухпериодной решетки, представленные на рис. 4, являются однопериодными решетками.
S0u
C1(u)
S0ud
S0d
C1(d)
max(0,S0u2–X)
max(0,S0ud–X)
max(0,S0d2–X)
Рис. 4
Применяя к ним формулу (7) для расчета цены опционов в однопериодной модели, получаем:
C1(u) =1+1 r (pC2 (u,u) + qC2 (u, d ));
C1(d) =1+1 r (pC2 (d,u) + qC2 (d, d)).
Применим еще раз те же формулы к однопериодной решетке, представленной на рис. 5, и воспользуемся тем,
что C2(d,u) = C2(u,d).
C1(u)
S0 
C0
C1(d)
Рис. 5
Получаем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38 |
|
|
C |
0 |
(u) = |
|
|
1 |
(pC (u) + qC (d )) = |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
+ r |
1 |
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= |
1 |
|
p |
1 |
(pC2 (u,u) + qC2 (u, d)) + |
|
|||||||
|
|
|
|
|
1+ r |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1+ r |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ q |
|
1 |
|
(pC2 (d,u) + qC2 |
(d, d)) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ r |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= (1+1r)2 (p2C2 (u,u) + 2 pqC2 (u, d ) + q2C2 (d, d )). (8)
Пример. Пусть, как и в примере из предыдущего пункта, текущая стоимость актива равна 100 руб. Но теперь мы считаем, что изменения стоимости актива происходят дважды в год. За полгода стоимость актива может повыситься на 9,54% или понизиться на 7,80%. Полугодовой повышающий и понижающий коэффициенты равны соответственно u = 1,0954
и d = 0,9220. Заметим, что u2 = 1,20 и d2 = 0,85.
Безрисковая годовая ставка равна 10%. Полугодовая ставка определяется из равенства 1 + r = 1,1 =1,0488 и равна 4,88%.
Цена исполнения опциона «колл» со сроком исполнения в конце года равна 105 руб. Определим величину премии за опцион.
Сначала вычислим коэффициенты p и q: |
|
||||||
p = |
|
1,0488 |
−0,9220 |
≈ 0,731, q = |
1,0954 −1,0488 |
≈ 0,269. |
|
1,0954 |
−0,9220 |
1,0954 −0,9220 |
|||||
|
|
|
|||||
Далее:
C2(u,u) = 120 – 105 = 15;
39
C2(u,d) = C2(d,u) = max{0, 100 – 105} = 0; C2(d,d) = 0.
Таким образом (рис. 6):
C0 = 0,7312 15/1,1 = 7,29 руб.
C1(u) = 10,45 
C2(u,u) = 15
C0 = |
C2(u,d) = 0 |
= 7,29 |
|
C1(d) = 0 |
C2(d,d) = 0 |
|
Рис. 6
Пример. Опуская подробности, проведем расчеты для трехпериодной модели. Исходные данные:
S0 = 100 –текущая цена актива;
u = 1,201/3 = 1,0627, d = 0,851/3 =0,9473 – повышающий и понижающий коэффициенты изменения цены актива за 4 месяца;
r = 1,101/3 = 1,0323; 3,23% – безрисковая ставка за один период;
X = 105 – цена исполнения опциона (со сроком исполнения в конце года – через три периода).
Вычислим коэффициенты p и q:
p = |
|
1,0323 |
−0,9473 |
|
≈ 0,737 , |
q = |
1,0627 −1,0323 |
|
≈ 0,263. |
|
1,0627 |
−0,9473 |
1,0627 −0,9473 |
||||||||
|
|
|
|
|||||||