24

В первом случае (полученное тождество совпадает с (16)) мы подставили в (17) x = 1, y = 1; во втором – x = 1, y = –1; в третьем – x = 1, y = 2.

8. 5. Принцип включения и исключения

Пусть X – некоторое n-множество, а p1, p2, …, pk – свойства, которыми могут обладать элементы множества X. Каждый элемент множества X может обладать одним или несколькими свойствами из числа перечисленных или не обладать ни одним из них. Обозначим через ni число элементов со свойством pi, i = 1, 2,…, k. Вообще, пусть ni1i2 ...ir – число элементов со свойствами pi1 , pi2 , …, pir . Тогда число элементов n0, не обладающих ни одним из перечисленных свойств, задается следующей формулой:

Элемент a, не обладающий ни одним свойством, учитывается один раз в слагаемом n и ни одно другое слагаемое вклад не вносит. Элемент a, обладающий ровно одним

свойством j, учитывается по одному разу в слагаемых n и ∑ni ;

i

его вклад в правую часть (18) составляет 1 – 1=0. Рассмотрим теперь элемент a, обладающий s ≥ 1 свойствами j1,…, js.

что {i1,…, ir} {j1,…, js}. Для каждого фиксированного r ≤ s число таких слагаемых равно числу r-подмножеств s-множества

{j1,…, js}, т. е. числу сочетаний Сsr . Следовательно, вклад элемента a в правую часть (18) равен

1 – С1s +Сs2 +…+(–1)r Сsr +…+(–1)s Сss =(1 – 1)s = 0.

Таким образом, правая часть (18) учитывает каждый элемент, не обладающий ни одним из указанных свойств ровно один раз, а каждый элемент, обладающий хотя бы одним свойством, – ноль раз. Но это и означает, что правая и левая части (18) равны.

В качестве применения метода включения и исключения рассмотрим известную задачу о беспорядках.

Перестановка a1a2…an чисел 1, 2, …, n называется беспорядком, если ai ≠ i для всех i = 1, 2, …, n. Таким образом, беспорядок – это перестановка, в которой ни один элемент не занимает «своего» места. Обозначим число беспорядков через Dn.

Пример. Перечислим беспорядки из четырех элементов: 2143; 2341; 2413; 3142; 3412; 3421; 4123; 4312; 4321.

Значит, D4 = 9.

одним из указанных свойств. Число перестановок, оставляющих на месте ровно r фиксированных символов (например, 1, 2,…, r)

равно (n – r)!. Выбрать r неподвижных символов можно Сnr

способами. Следовательно в формуле (18) каждое слагаемое

собой приближение числа e–1 по формуле Тейлора.

27

абсолютная величина погрешности приближения не превосходит n1+1.

Пример. При n = 4 имеем D4 ≈ 4!e–1 = 24e–1 ≈ 8.83 .

Напомним, что выше мы непосредственно нашли точное значение D4 ≈ 9.