|
20 |
|
|
|
из n1 + n2 +…+ nk |
мест. Это можно сделать Cnn1 |
+n |
+K+n |
k |
|
1 |
2 |
|
способами. Элементы x2 можно расставлять на незанятые места, которых остается n2 +…+ nk. Значит, места для элементов x2
можно выбрать |
n |
способами. Продолжая подобным |
Cn22 +K+nk |
образом, приходим к тому, что элементы xk–1 должны быть расставлены на nk–1 + nk мест, а элементы xk – на оставшиеся nk мест. По правилу произведения получаем:
P(n , n ,K, n ) = Cn1 |
+n2 |
+K+nk |
Cn2 |
+K+nk |
K Cnk . |
||
1 2 |
k |
n1 |
n2 |
nk |
|||
Если теперь записать числа сочетаний в факториалах, то после сокращений получится (8).
Заметим, кстати, что Cnk = P(k, n −k) .
8. 4. Некоторые свойства чисел Cnk
Непосредственно из формулы (8) легко усмотреть, что при любых n и k, 0 ≤ k ≤ n, верно равенство
Cnk = Cnn−k . |
(13) |
Если 0 ≤ k < n, то
Cnk +Cnk +1 = Cnk++11 . |
(14) |
21
С использованием (9) доказательство может быть получено непосредственной проверкой:
Cnk +Cnk +1 = |
|
n! |
|
+ |
|
|
|
n! |
|
= |
|
n!(k +1) + n!(n −k) |
= |
|
k!(n −k)! |
(k +1)!(n −k −1)! |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
(k +1)!(n −k)! |
|
||||||||
= |
|
n!(n +1) |
|
|
= |
(n +1)! |
|
|
|
= Cnk++11. |
|
|||
|
(k +1)!(n −k)! |
(k +1)!(n −k)! |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
Сумма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cn0 +Cn1 +Cn2 +... +Cnn |
(15) |
||||||||||
– это число всех подмножеств n-множества (число пустых подмножеств Cn0 плюс число одноэлементных подмножеств C1n
и т. д.). Как было установлено ранее, n-множество имеет 2n подмножеств. Следовательно,
Cn0 +Cn1 +Cn2 +... +Cnn = 2n . |
(16) |
Впрочем, с использованием (14) формула (16) может быть получена по индукции. При малых значениях n справедливость (16) легко проверяется непосредственно. Индуктивный шаг сводится к следующей несложной выкладке:
C0+ +C1+ +C2+ +... +Cn++1 = n 1 n 1 n 1 n 1
= C0+ +(C0 +C1 ) +(C1 +C2 ) +... +(Cn−1 +Cn ) +Cn++1 =
n 1 n n n n n n n 1
=(Cn0 +Cn1 +... +Cnn−1 +Cnn++11) +(Cn0+1 +Cn1 +... +Cnn ) =
=2(Cn0 +Cn1 +Cn2 +... +Cnn ) .
В последнем переходе использовалось то, что Cn++1 =1 = Cn
n 1 n
и C0+ =1 = C0 .
n 1 n
22
Формула (14) позволяет последовательно заполнять строки таблицы, называемой треугольником Паскаля. Рассмотрим первые пять строк этой таблицы:
01
11 1
2 |
1 |
2 |
1 |
|
|
3 |
1 |
3 |
3 |
1 |
|
4 |
1 |
4 |
6 |
4 |
1 |
В строке с номером n (указанном слева от вертикальной черты) расположены числа Cn0 , C1n , …, Cnn . В соответствии с (14), складывая два соседних числа в строке n, мы получим число в строке n + 1, стоящее под правым слагаемым.
Рассмотрим бином (x + y)n. Для любого целого неотрицательного числа n имеет место следующее тождество:
n |
|
(x + y)n = ∑Cnk xn−k yk , |
(17) |
k =0
или в развернутом виде:
(x + y)n = Cn0 xn y0 +Cn1 xn−1 y1 +... +Cnn x0 yn ,
называемое формулой Ньютона.
Доказательство этого факта несложно провести по индукции, используя (14). Формула Ньютона, очевидно, верна при n = 0. Чтобы выполнить индуктивный шаг, в равенстве
(x + y)n+1 = (x + y)n(x + y)
23
заменим (x + y)n суммой из правой части (17). После раскрытия скобок и приведения подобных получаем:
(x + y)n+1 =
= xCn0 xn y0 + ∑n (xCnk xn−k yk + yCnk −1xn−k +1 yk −1 )+ yCnn x0 yn =
k =1
= xn+1 + ∑n (Cnk +Cnk −1 )xn−k +1 yk + yn+1
k=1
Всоответствии с (14),
Ck +Ck −1 = Ck+ ,
n n n 1
так что
(x + y)n+1 = Cn0+1xn+1 y0 +Cn1+1xn y1 +... +Cnn++11x0 yn+1
и, следовательно, формула Ньютона верна и при показателе степени равном n + 1.
Подставка в формулу Ньютона конкретных числовых значений переменных позволяет получать различные тождества. Вот некоторые из них:
n
∑Cnk = 2n ;
k=0 n
∑(−1)k Cnk = 0 ;
k=0 n
∑2k Cnk = 3n .
k =0