Коэффициент при zn+1, получающийся после раскрытия скобок и приведения подобных в (8), должен в соответствии с (7) равняться Fn+1. Слагаемые в (8), следующие за zn+1(1 + z)n, содержат z в степенях более высоких, чем n + 1. Слагаемые zk+1(1 + z)k при 2k + 1 < n + 1 содержат z в степенях более низких, чем n + 1. Так как

zp+1(1 + z)p = z p+1 ∑Ckp zk = ∑Ckp zk + p+1 , k ≤ p k ≤ p

то коэффициент при zn+1 получается суммированием по p всех

получаем сумму, стоящую в правой части (6), что и доказывает это равенство.

С учетом формулы Бине равенство (7) может быть записано

12. 3. Золотое сечение

Разделим отрезок AB на части так, чтобы большая часть была бы средним пропорциональным между всем отрезком и

89

меньшей его частью. Иными словами, мы ищем точку C такую,

что AC:BC = BC:AB (рис. 1).

A C D B

Рис. 1

Пусть BC = x AB. Тогда AC = x BC = x2 AB. Так как

AC + BC = AB, то

2

Разбиение отрезка AB на две части точкой C называют

золотым сечением этого отрезка.

Точно так же можно получить золотое сечение отрезка AB точкой D такой, что BD:AD = AD:AB.

Оказывается, точка D дает золотое сечение отрезка BC. Действительно:

BC = x AB, AD = x AB, BD = (1 – x) AB,

и, значит, CD = BC – BD = (2x – 1) AB. Таким образом,

CDBD = 21x−−x1 ; BDBC =1−x x .

90

Так как x служит корнем уравнения x2 + x – 1 = 0, то, как легко проверить, 21x−−x1 =1 −x x . Следовательно,

CDBD = BDBC .

Заметим, что x = −1+2 5 – это предел, к которому стремится отношение соседних чисел Фибоначчи Fn/Fn+1. Приближение золотого сечения, изображенного на рис. 1, можно получить,

взяв точки C′ и D′ такие, что

un/un+1 стремится для любой последовательности с положительными членами, удовлетворяющей рекуррентному соотношению un+2 = un+1 + un. В самом деле, члены любой такой последовательности имеют вид

положительны, a ≠ 0. Так как |β/α| < 1, то (β/α)n →0 при n→ . Следовательно,

91

Таким образом, аппроксимировать золотое сечение можно с помощью любой положительной последовательности (un), члены которой удовлетворяют рекуррентному соотношению

un+2 = un+1 + un.

Золотое сечение используется в техническом анализе при торговли ценными бумагами на инвестиционных рынках.

Центральную роль в так называемом анализе Фибоначчи играют Фиб-узлы (или уровни Ди Наполи). На ценовой волне берутся две крайние точки A и B и отрезок AB делится точками C и D (рис. 2) подобно тому, как это сделано на рис. 1. Полученные точки называются Фиб-узлами. Считается, что в этих точках происходит значительное сопротивление изменению цен при обратном движении.

Рис. 2 В качестве Фиб-узлов используются также близкие к ним

точки – F3 и F5 – Фиб-узлы, расположенные на уровнях 3/8

и 5/8: