10.2 Критерій стійкості Найквіста

Критерій Найквіста дозволяє визначити стійкість системи зі зворотним зв'язком (замкнутої системи) за експериментально знятою або отриманою на основі передавальної функції амплітудно - фазовій частотній характеристиці розімкнутої системи.

Розглянемо різні випадки.

1.Система, стійка в розімкненому стані.

Передаточна функція розімкненого кола ( :

Цей випадок відповідає системам автоматичного керування без астатизму.

Введемо допоміжну функцію:

де - характеристичний багаточлен замкненої системи,

-характеристичний багаточлен розімкненого кола цієї системи.

Підставимо і одержимо:

За критерієм Михайлова зміна аргументу при зміні від 0 до +∞ повинна дорівнювати , тому що передбачається, що розімкнене коло стійке.

З іншого боку, потрібно, щоб система була стійкою в замкненому стані. Для цього потрібно поставити вимогу, щоб зміна аргументу при також дорівнювала . Звідси випливає, що зміна аргументу повинна бути:

- =0.

Це значить, що годограф не повинен охоплювати початок координат.

Повернемося тепер до функції: -1, що являє собою амплітудно-фазову частотну характеристику розімкненого кола.

Годограф : не повинен охоплювати точку (-1; 0j) на дійсній вісі.

Частотний критерій Найквіста:

якщо розімкнене коло системи стійке, то для стійкості замкненої системи необхідно і достатньо, щоб амплітудно-фазова частотна характеристика розімкненого кола не охоплювала точку (-1, j0).

Годограф на рис.10.4а відповідає випадку, коли стійкість системи порушиться тільки зі збільшенням загального коефіцієнта підсилення розімкненого кола К, а на рис.10.4б — випадку, коли і при зменшенні К система може стати нестійкою.

Рис.10.4 Рис.10.5

При складних обрисах амплітудно-фазових характеристик (клювоподібного вигляду як на рис. 10.5б і більш складних), до записаного вище формулювання частотного критерію додається роз'яснення, що розуміти під терміном «неохоплення точки (-1; j0)». Характеристика може перетинати від’ємну вісь лівіше точки (-1; j0), але тоді число позитивних (зверху вниз) переходів характеристики через вісь абсцис лівіше точки (-1; j0) повинно дорівнювати числу негативних переходів (знизу нагору).

2.Система, нейтральна в розімкненому стані.

Характеристичний багаточлен розімкненого кола   має нульові корені, а всі інші корені мають від’ємні дійсні частини. Передаточна функція розімкненого кола  має відповідно нульові полюси:

Це відповідає астатичним системам, причому v – порядок астатизму.

Розглянемо спочатку випадок v=1, тобто      

Площина коренів   має вигляд, приблизно, як показано на рис.10.6а. При цьому, щоб усі корені залишити ліворуч, обійдемо точку 0 по окружності малого радіуса: 

   

Тоді при   одержимо:

де   при 

Отже, точці площини коренів відповідає на характеристиці чверть окружності нескінченного радіуса (рис. 10.6б). Оскільки при цьому всі корені залишалися ліворуч, то формулювання критерію стійкості залишається таким же, як і для випадку стійкого розімкненого кола, а саме: не повинна охоплюватися точка (-1; j0).

Рис.10.6

• У випадку v= 2 і v= 3 аналогічно одержуємо таке ж формулювання критерію — неохоплення точки (-1; j0), як показано на приведеному нижче рисунку (рис.10.7).

• Для складних обрисів амплітудно-фазових характеристик у число негативних переходів треба включати і перехід пунктирної окружності нескінченно великого радіусу при ω=0.

а) б)

Рис.10.7

3.Система з нестійким розімкненим колом.

Нехай характеристичний багаточлен розімкненого кола має l коренів з додатною дійсною частиною (індекс нестійкості системи).

Тоді введена вище допоміжна функція:

при заміні p=jω відповідно до критерію Михайлова для стійкості замкненої системи, повинна мати наступну зміну аргументу ( )

Це значить, що для стійкості замкненої системи потрібно, щоб амплітудно-фазова характеристика розімкненого кола охоплювала точку (-1; j0) при повороті проти годинникової стрілки на кут πl, де l - число полюсів з додатною дійсною частиною в передаточній функції нестійкого розімкненого кола даної системи.

Іншими словами, лівіше точки (-1; j0) різниця поміж числом позитивних та числом негативних переходів амплітудно-фазової частотної характеристики через вісь абсцис повинна дорівнювати l/2.

Наприклад, якщо передаточна функція розімкненого кола:

має один додатний полюс (l=1), то для стійкості замкненої системи амплітудно-фазова частотна характеристика розімкненого кола повинна мати вигляд, приблизно як показано на рис 10.8а або 10.8б, а у випадку l=3 – на рис. 10.8в. При цьому початкова точка характеристики на вісі абсцис лівіше (-1; j0) вважається за половину переходу.

а) б) в)

Рис.10.8

ЛЕКЦІЯ 11. АНАЛІЗ ЯКОСТІ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ У ПЕРЕХІДНОМУ РЕЖИМІ

План лекції

11.1. Прямі показники якості перехідних процесів

11.2. Непрямі оцінки якості