3. Внутрішня стійкість (математична стійкість)

Більш досконалі визначення стійкості були введені А. М. Ляпуновим

Система (рівноважний стан х* = 0) називається стійкою за Ляпуновим, якщо для будь-якого ε>0 знайдеться δ (ε)> 0 таке, що для всіх початкових значень з області <δ і для будь-яких t> 0 виконується умова | x (t, ) | <ε.

Якщо крім того вектор стану прагне до положення рівноваги, тобто,

(x (t) - x*) → 0 при t → ∞, то система. називається асимптотично стійкою в положенні рівноваги x*.

Очевидно, що асимптотична стійкість - більш сильне вимога. Положення рівноваги, які стійкі за Ляпуновим, але не асимптотично стійкі, іноді називаються нейтрально стійкими (маятник без тертя, ванна з водою).

Положення рівноваги нестійке, якщо для нього не виконується умова стійкості Ляпунова. Це означає, що існує таке ε> 0, що траєкторія x (t) виходить за межі області x(t)-x* <ε при як завгодно малому відхиленні початкового стану від положення рівноваги x*. Наприклад, система переходить в інше положення рівноваги, або x(t) необмежено зростає.

Говорячи про внутрішню стійкості, розглядають не тільки вихід, але і всі змінні, які описують стан системи

В математичній теорії систем вектор стану позначають через x(t), а рівняння руху системи записують у вигляді (модель ВСВ):

Стійкість означає, що всі рухи x(t), які починаються близько від положення рівноваги x*, при всіх t залишаються в деякій околиці x*. Краще, якщо система не просто стійка, а ще й повертається в положення рівноваги, тобто, x(t) прагне до x* при t → ∞, (асимптотична стійкість).

На малюнку показані рухи стійкої (1), асимптотично стійкої (2) і нестійкої (3) систем. Для простоти передбачається, що положення рівноваги x* - це початок координат.

Стійкість визначається для деякого положення рівноваги. Для нелінійної системи може бути кілька положень рівноваги, причому деякі з них можуть бути стійкі, а деякі - ні. В положенні рівноваги всі похідні дорівнюють нулю.

Технічна стійкість	Математична стійкість
Система нейтральна	Система стійка за Ляпуновим
Система стійка	Система асимптотично стійка
Система нестійка	Система нестійка

8.3. Основна умова стійкості

Будемо вважати, що система описується диференціальним рівнянням (y – вихідна змінна, u – керуюча змінна, f– збурення):

(8.1)

В операторній формі:

(8.2)

Загальне рішення рівняння (8.1) має вигляд

(8.3)

де - частинне рішення рівняння (8.1), - загальне рішення відповідного однорідного рівняння.

Загальне рішення однорідного рівняння описує вільний рух системи управління (тобто рух за відсутності зовнішних впливів), який визначається тільки початковими умовами.

Частинне рішення описує вимушений рух, обумовлений зовнішніми впливами.

• Характеристичне рівняння для (8.1) має вигляд

(8.4)

якщо вважати, що р- довільна змінна.

Корені характеристичного рівняння дозволяють знайти , тобто визначають вільний рух системи:

.

Для n=2: . (8.5)

• Характеристичне рівняння – це алгебраїчне рівняння, яке відповідає однорідному диференційному рівнянню. Його можна одержати шляхом використання підстановки Ейлера в однорідне диференційне рівняння.

• Якщо відома передавальна функція, то характеристичне рівняння можна отримати прирівнявши характеристичний поліном (знаменник дробу) нулю.

Розглянемо окремо можливі значення коренів і одержимо умову стійкості САК.

1. Нехай корінь рівняння (8.3) – дійсне число.

Позначимо його літерою :

1-й випадок < 0.

Якщо < 0, то можна записати, що: = . Підставимо в (8.4), і матимемо розв’язок однорідного рівняння у вигляді:

З бігом часу t → ∞ розв’язок рівняння спадає до нуля.

Графік його показано на рисунку.

Це свідчить, що система прагне до певного сталого стану, тобто система стійка.

2-й випадок 0.

Якщо: < 0, то: = Підставимо в (8.4), і матимемо розв’язок однорідного рівняння у вигляді:

.

З бігом часу t → розв’язок рівняння збільшується.

Графік функції,яка відповідає розв’язку рівняння показано на рисунку.

З часом значення величин y(t) зростає до нескінченності.

Це свідчить, що система є нестійкою.

3-й випадок

Підставимо в (8.4), і матимемо: .

Вихідна величина залишається постійною. Графік розв’язку рівняння показано на рисунку. Тут ми маємо систему на межі стійкості.

Висновок:

У випадку дійсного кореня, коли корінь рівняння менше нуля, система є стійкою, коли корінь дорівнює нулю – система знаходиться на межі стійкості, а коли корінь більше нуля – система нестійка