9.2. Критерій стійкості Гурвіца

У 1895 р. німецьким математиком А. Гурвіцем був розроблений алгебраїчний критерій стійкості у формі визначників, що складаються з коефіцієнтів характеристичного рівняння системи.

З коефіцієнтів характеристичного рівняння

=0

будують спочатку головний визначник Гурвіца за наступним правилом:

1)По головній діагоналі визначника зліва направо записують усі коефіцієнти характеристичного рівняння від до в порядку спадання індексів.

2)Стовпці вгору від головної діагоналі доповнюють коефіцієнтами характеристичного рівняння з послідовно зростаючими індексами, а стовпці вниз — коефіцієнтами з послідовно спадаючими індексами.

3)На місце коефіцієнтів з індексами більше n (n — порядок характеристичного рівняння) і менше нуля проставляють нулі.

Відкреслюючи в головному визначнику Гурвіца одержуємо визначники Гурвіца нижчого порядку:

Критерій стійкості Гурвіца: для того щоби система автоматичного керування була стійка, необхідно і достатньо, щоб усі визначники Гурвіца мали знаки, однакові зі знаком старшого коефіцієнта характеристичного рівняння , тобто при були додатними.

Розкриваючи, наприклад, визначники Гурвіца для характеристичних рівнянь першого, другого, третього і четвертого порядків, можна одержати наступні умови стійкості:

1) для рівняння першого порядку ( = 1), тобто , умови стійкості:

, ;

2) для рівняння другого порядку ( =2) тобто + , умови стійкості:

, ;

3) для рівняння третього порядку ( =3), тобто , умови стійкості:

, , ;

4) для рівняння четвертого порядку ( =4), тобто

, умови стійкості:

, ;

Таким чином, необхідною і достатньою умовою стійкості для систем першого і другого порядків є додатність коефіцієнтів характеристичного рівняння.

Для рівняння третього і четвертого порядків окрім додатності коефіцієнтів необхідне виконання додаткових нерівностей. При 5 число подібних додаткових нерівностей зростає, процес розкриття визначників стає досить трудомістким і громіздким.

Тому критерій стійкості Гурвіца звичайно застосовують при 4.

9.3. Критерій стійкості Льєнара-Шипара

• Критерій стійкості Льєнара-Шипара доцільно застосовувати при 𝒏≥5.

• Доведено, що в тому випадку, коли всі коефіцієнти характеристичного рівняння додатні ( …, ), з того факту, що додатні усі визначники ,... з непарними індексами, випливає і додатність визначників Гурвіца ,... з парними індексами, і навпаки.

• Таким чином, для того щоби система автоматичного керування була стійка, необхідно і достатньо, щоб виконувалися наступні нерівності:

• …,

• 

або

• …,

• 

ЛЕКЦІЯ 10. ЧАСТОТНІ КРИТЕРІЇ СТІЙКОСТІ

План лекції

1. Критерій стійкості А.В.Михайлова

2. Критерій стійкості Найквіста

10.1. Критерій стійкості а.В.Михайлова

Розглянемо систему керування:

. (10.1)

Характеристичне рівняння:

=0. (10.2)

Після підстановки розглянемо величину (характеристичний комплекс)

. (10.3)

Після деяких перетворень можна записати (для випадку n –парне)

,

,

.

Зобразимо величину на комплексній площині - у вигляді радіус-вектора (для певного значення ). Його кінець при зміні від -∞ до +∞ описує криву – годограф Михайлова.

Оскільки до складу входять лише парні степені , то крива симетрична щодо вісі .

jω Pi P-Pi Arg P 0 α

jω P3 jω-P2 P2 jω-P3 jω-P1 P1 0 α

Відповідно до основної теореми алгебри всякий багаточлен n -го степеня може бути зображений у вигляді добутку двочленів:

, (10.4)

де - корені рівняння (10.1).

Модуль величини (10.4):

Її аргумент:

+ .

Якщо всі корені знаходяться ліворуч від уявної вісі, то зміна аргументу кожного із співмножників при зміні від -∞ до +∞ буде дорівнювати π (будемо вважати додатнім напрямок обертання вектора проти годинникової стрілки), а повна зміна аргументу буде дорівнювати nπ, де n - вища степінь багаточлена.

Якщо всі корені знаходяться праворуч від уявної вісі, то зміна аргументу кожного співмножника при зміні від -∞ до +∞ буде дорівнювати -π (вектор робить поворот за годинниковою стрілкою), а повна зміна аргументу буде дорівнювати - nπ.

Нехай праворуч від уявної вісі знаходиться m коренів. Отже, ліворуч їх буде n-m. Зміна від -∞ до +∞ викликає повну зміну аргументу на величину:

Таким чином, звідси випливає принцип аргумента.

Зміна аргументу вектору при зміні частоти від -∞ до +∞ дорівнює різниці між числом лівих і правих коренів рівняння =0, домноженій на .

Якщо частота змінюється від 0 до +∞, то зміна аргумента вдвічі менше:

.

Таким чином, про стійкість системи можна судити по збільшенню аргументу . Крива являє собою симетричну криву щодо вісі абсцис, тому можна змінювати частоту від 0 до +∞.

Для того щоби лінійна система автоматичного керування, що має характеристичне рівняння n-го порядку, була стійкою, необхідно і достатньо, щоби при зміні від 0 до +∞ повна зміна аргументу вектора дорівнювала

.

Або:

Для стійкості системи необхідно і достатньо, щоб годограф Михайлова при зміні від 0 до +∞ починався на дійсній осі в точці і проходив послідовно проти годинникової стрілки n квадрантів, не звертаючись в нуль і прагнучи до ∞ в n-ому квадранті.

Іншими словами, крива Михайлова повинна бути розташована так, щоб послідовно перетинати n квадрантів.

На рис.а зображені криві Михайлова для стійких систем від першого до п'ятого порядків. Криву Михайлова для стійкої системи називають правильною.

На рис.б, в показані криві Михайлова для стійкої і нестійкої систем четвертого порядку.

1. б) в)

• При виводі критерію Михайлова не розглядалося розташування хоча б одного кореня на уявній вісі.

• Якщо вектор має множник ( ) чи ) (рис.б) а, отже, обертається в нуль на початку координат і в спряжених точках . Аргумент нульового вектора невизначений. Для того щоб внести визначеність, умовимося:

при русі точки уздовж уявної вісі обходити всі корені, що знаходяться на ній, праворуч по дузі окружності нескінченно малого радіуса. Таким чином, корені на уявній вісі мов би зараховують до коренів лівої напівплощини з нескінченно малою від’ємною дійсною частиною. Формулювання критерію зберігається і при розташуванні коренів на уявній вісі.

Рис.10.3