9.1. Критерій стійкості Рауса
Умова стійкості лінійної системи виражається у тім, що всі корені характеристичного рівняння повинні розташовуватися в лівій півплощині комплексної змінної.
Модель системи (ВВ):
Характеристичне рівняння:
=0(Або
Алгебраїчні критерії стійкості дозволяють судити про стійкість системи за коефіцієнтами характеристичного рівняння.
Критерій стійкості Рауса.
Цей критерій стійкості був у 1877 р. запропонований англійським математиком Э. Раусом у вигляді деякого правила (алгоритму), який найбільш просто пояснюється наведеною таблицею.
У першому рядку таблиці записують у порядку убування індексів коефіцієнти характеристичного рівняння, що мають парний індекс:
;
у другому
рядку –
коефіцієнти з непарним індексом:
.
Любий з інших коефіцієнтів таблиці
визначають як
,
де
;
k- індекс, що означає номер стовпця таблиці; i – індекс, що означає номер рядка таблиці.
Зазначимо, що число рядків таблиці Рауса дорівнює степені характеристичного рівняння плюс одиниця . Після того як таблиця Рауса заповнена, по ній можна судити про стійкість системи.
Коефіцієнт
|
рядок (i) |
Стовпець (k) |
|||
1 |
2 |
3 |
… |
||
|
1 |
|
|
|
… |
|
2 |
|
|
|
… |
|
3 |
|
|
|
… |
|
4 |
|
|
|
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
i |
|
|
|
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
n- парне.
Для
того щоби система автоматичного
регулювання була стійка, необхідно і
достатньо, щоби коефіцієнти першого
стовпця таблиці Рауса мали однакові
знаки, тобто для
були додатними:
,
, …
Приклад.
Дослідити стійкість системи за допомогою критерія Рауса:
|
|
,
Визначимо передаточну функцію замкнутої системи:
.
Характеристичний
многочлен системи A(p)
=
Складемо
таблицю Рауса:
Коефіцієнт |
Pядок (i) |
Стовпчик (k) |
||
1 |
2 |
3 |
||
- |
1 |
|
|
|
- |
2 |
|
|
0 |
|
3 |
|
|
0 |
|
4 |
|
0 |
0 |
|
5 |
|
0 |
0 |
Є дві зміни знака коефіцієнтів першого стовбчика, отже, система нестійка, а характеристичне рівняння має два правих корня.