2. Нехай корінь характеристичного рівняння (8.3) – комплексне число.

Комплексні корені завжди є комплексно спряженими. Позначимо ці корені так:

Тоді розв’язки однорідного рівняння матимуть вигляд:

З математики відомо, що коли – є розв’язком рівняння, то і їх сума також буде розв’язком цього рівняння:

або після деяких перетворень:

• Розв’язком рівняння є функція, яка має два множники: перший - це експонента аналогічна, як і в випадку дійсного кореня, другий – гармонічна функція cos(βt). Ми маємо періодичні коливання cos(βt), амплітуда яких змінюється за законом .

• Якщо α < 0, то амплітуда коливань з часом зменшується, якщо α >0, то вона збільшується і при α = 0 – лишається постійною.

Основна умова стійкості:

САК є стійкою, коли її характеристичне рівняння має корені з від’ємною дійсною частиною.

Коли хоча б один з коренів характеристичного рівняння системи має додатну дійсну частину, то система є нестійкою, а якщо один з коренів має дійсну частину, рівну нулю, то система знаходиться на межі стійкості.

Якщо розглядати корені характеристичного рівняння як точки на комплексній площині то умова стійкості формулюється таким чином:

Необхідною і достатньою умовою стійкості САК є розміщення всіх коренів її характеристичного рівняння у лівій частині комплексної площини.

Зображення коренів на комплексній площині:

Теореми Ляпунова.

1. Якщо всі корені характеристичного рівняння лінеаризованої моделі є лівими, то незбурений рух відповідної нелінійної системи - асимптотично стійкий.

2. Якщо серед коренів характеристичного рівняння лінеарізованої моделі є правий корінь, то незбурений рух відповідної нелінійної системи - нестійкий.

3. Випадок, коли серед коренів характеристичного рівняння лінеаризовані моделі є нейтральні корені (корені на уявній осі), але немає правих коренів, називають, критичним. У критичному випадку по лінеаризованій моделі не можна судити про стійкість незбуреного руху нелінійної системи.

8.4. Необхідна умова стійкості

Вище була сформульована умова стійкості лінійної системи у вигляді вимоги до коренів характеристичного рівняння. Однак обчислення коренів рівняння високої степені викликає певні труднощі. Тому були виведені критерії стійкості, що дозволяють судити про стійкість або нестійкість системи безпосередньо по коефіцієнтах характеристичного рівняння без обчислення його коренів.

Нехай характеристичне рівняння лінійної системи  в розгорнутій формі має вигляд:

 Доведемо, що необхідною умовою стійкості є додатність усіх коефіцієнтів характеристичного рівняння, тобто:

якщо

Для доведення розкладемо ліву частину характеристичного рівняння на множники:

Нехай усі його корені мають від’ємні дійсні частини:

,

Поставивши їх у рівняння, одержимо:

.

Оскільки середні два співмножники дають:

то видно, що після перемноження усіх дужок отримаємо у рівнянні тільки додатні коефіцієнти. Це і необхідно було довести.

Для того, щоб система була стійка, необхідно, щоб всі коефіцієнти її характеристичного рівняння були строго одного знаку:

або

У загальному випадку додатність коефіцієнтів рівняння недостатня для стійкості системи. Додатні коефіцієнти рівняння можуть вийти і при додатних дійсних частинах комплексних коренів.

ЛЕКЦІЯ 9. АЛГЕБРАЇЧНІ КРИТЕРЇЇ СТІЙКОСТІ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ

План лекції

9.1. Критерій стійкості Рауса

9.2. Критерій стійкості Гурвіца

9.3. Критерій стійкості Льєнара-Шипара