14.2.1. Умови граничної стійкості.

Нагадаємо, що система знаходиться на межі стійкості, або має місце гранична (маргінальна) стійкість, якщо її характеристичний поліном має нейтральні (тобто розташовані на уявній вісі) нулі і не має правих нулів. Такий поліном називають маргінально стійким.

Розглянемо поліном з речовими коефіцієнтами

(14.7)

• Твердження 1. Якщо поліном (14.7) маргінально стійкий, то всі його коефіцієнти не негативні:

(14.8)

Нуль полінома (14.7) називають особливим, якщо- також є нулем цього полінома. Зокрема, всі нулі, розташовані на уявної осі, є особливими.

Поліном (14.7) має l особливих нулів в тому і тільки тому випадку, коли l старших визначників Гурвіца дорівнюють нулю, а (nl)-й визначник відмінний від нуля:

(14.9)

За наявності s нейтральних нулів число правих нулів k визначається за формулою

(14.10)

де 𝑙 - число особливих нулів, - число особливих правих нулів, яке визначається співвідношенням

(14.11)

Якщо є особливі нулі, розташовані поза уявною віссю, то, як випливає з їх визначення, серед них обов'язково буде правий нуль.

• З викладеного вище випливає наступне твердження 2.

Поліном (6.5) маргінально стійкий і l нулів розташовуються на уявної вісі в тому і тільки тому випадку, якщо виконуються наступні дві умови.

1. l старших визначників Гурвіца дорівнює нулю, а інші nl визначників позитивні:

(14.12)

2. Поліном (6.5) не має особливих нулів, розташованих не на уявній вісі.

При використанні даного твердження і встановленні умови 2 важливу роль відіграє наступне твердження.

• Твердження 3. При виконанні необхідної умови (14.8) особливий нуль не може бути дійсним числом, і якщо є особливі нулі, розташовані не так на уявної вісі, то їх кількість дорівнює числу, кратному 4.

• Твердження 4. Якщо виконуються необхідна умова маргінальної стійкості (14.8) і умова (6.10) при 1 ≤ l ≤ 3, то поліном (14.7) маргінально стійкий.

Це твердження безпосередньо випливає з тверджень 2 і 3.

• Твердження 5. Якщо всі коефіцієнти полінома (14.7) з непарними індексами дорівнюють нулю:

(14.13а)

(14.13б)

то всі визначники Гурвіца дорівнюють нулю

(14.14)

- матриця Гурвіца

- визначники Гурвіца

- умова стійкості

І навпаки, якщо всі визначники Гурвіца дорівнюють нулю, то всі коефіцієнти полінома (14.7) з непарними індексами дорівнюють нулю.

14.2.2. Метод синтезу систем управління максимального ступеня стійкості.

Метод вирішення цього завдання заснований на перетворенні характеристичного полінома шляхом підстановки При цій підстановці перетворений поліном

(14.15)

стає маргінально стійким поліномом.

І для виписуються умови маргінальної стійкості, включаючи умови (14.8), (14.12) і (14.14):

(14.16а)

(14.16б)

(14.16в)

Тут - визначники Гурвіца перетвореного полінома

Коефіцієнти вихідного характеристичного полінома залежать від параметрів регулятора, а коефіцієнти перетвореного полінома залежать ще й від ступеня стійкості η.

Розглянутий метод полягає в наступному: вирішується система (14.16а) - (14.16в) щодо невідомих параметрів регулятора і ступеня стійкості η і знаходяться рішення, у яких η має найбільше значення.

При використанні цього методу важливо знати максимально можливе значення , яке може прийняти ступінь стійкості.

Твердження 6. При фіксованих і ступені стійкості η сталого полінома Q (λ) приймає максимально можливе значення, рівне

(14.17)

коли речові частини всіх нулів Q (λ) рівні між собою.

Максимально можливе значення будемо також називати граничним значенням

Пошук рішення задачі синтезу максимального ступеня стійкості слід починати з випадку, коли ступінь стійкості приймає граничне (максимально можливе) значення. Це можливо, коли всі нулі вихідного полінома мають однакові дійсні частини або нулі перетвореного полінома розташовуються на уявної вісі. в силу твердження 5 умову маргінальної стійкості (14.16) можна представити у вигляді

(14.18а)

(14.18б)

Якщо система (14.18а), (14.18б) не має рішення, то потрібно перейти до системи (14.16а) - (14.16в) і вирішити її при

У загальному випадку (14.16а) - (14.16в) і (14.18а), (14.18б) є необхідними, але не достатніми умовами граничної стійкості полінома . Тому, вирішивши систему (14.16а) - (14.16в) або (14.18а), (14.18б), потрібно переконається, що при знайдених значеннях параметрів серед особливих нулів полінома немає правих нулів.

При вирішенні систем (14.16а) - (14.16в) і (14.18а). (14.18б) ω розглядається як (речовий) параметр. Якщо вдається знайти необхідне рішення зазначених систем при ω ≠ 0, то це означає, що рівняння має щонайменше два дійсних кореня. І в цьому випадку зазначену додаткову перевірку потрібно проводити тільки при l ≥ 6 або n ≥ 6, коли l = n.