14.1. Синтез параметрів регулятора по мінімуму інтегральних оцінок
Розглянемо завдання синтезу в такій постановці.
Структура
системи задана, і потрібно визначити
її параметри так, щоб яка-небудь задана
інтегральна оцінка
прийняла мінімальне значення.
В якості інтегральних оцінок найбільш часто використовують інтегральну квадратичну помилку (яку також називають інтегральною квадратичною оцінкою)
, (14.1)
де
— перехідна складова помилки.
Узагальнені інтегральні квадратичні оцінки
(14.2)
де - вагові константи.
Після обчислення інтеграла за допомогою формули Парсеваля отримаємо деяку функцію від параметрів
Тут α означає вектор, компонентами якого є параметри системи.
Рівність
Парсеваля. Розглянемо рівність Парсеваля.
яка використовується при обчисленні
інтегральних квадратичних оцінок. Якщо
є зображенням Лапласа функції x (t) і його
полюси розташовані в лівій півплощині,
то справедлива рівність Парсеваля
На параметри системи можуть бути накладені обмеження у вигляді рівностей і нерівностей:
Тому в загальному випадку розглянута задача синтезу зводиться до наступної задачі на умовний мінімум:
(14.3)
Це завдання може бути вирішене різними способами.
Замінимо
нерівності (14.3) рівностями. Для цього
вводяться додаткові невідомі параметри
:
.
Задача (14.3) приймає вигляд:
(14.4)
де
Завдання (14.4) в принципі може бути вирішене методом невизначених множників Лагранжа. Відповідно до цього методу складається функція Лагранжа
і задача (6.4) зводиться до задачі на безумовний екстремум
Тут
и
в особливому випадку (тобто коли
постановка задачі має сенс).
Приклад
14.1.
За
умови, що
=
і
визначити параметр
,
при якому перехідний процес системи
(див. рис. 5.1 ) є аперіодичним та інтегральна
квадратична помилка
приймає
мінімальне значення.
Рішення. Перехідний процес буде аперіодичним, якщо корені характеристичного рівняння розглянутої системи
будуть
речовими, тобто якщо детермінант цього
рівняння
або
Так
як
,
то помилка
.
Об'єкт включає інтегруючу ланку. Тому
система є астатичной щодо задаючого
впливу та статична помилка e_
.
Перехідна складова помилки
Переходячи до
зображень Лапласа,отримаємо
Отже,
(14.5)
Цей
інтеграл обчислюється за допомогою
теорії відрахувань і для
має
наступний вигляд
(14.5 a)
;
(14.5 б)
(14.5в)
У
даному випадку (див. (14.5))
Тому
(див. (4.176))
Вочевидь,
що
приймає мінімальне значення за умови
,
коли
14.2. Умова граничної стійкості і синтез систем управління з максимальним ступенем стійкості
Завдання синтезу систем керування максимального ступеня стійкості ставиться таким чином. Задана структура системи керування і потрібно визначити параметри регулятора, які дають максимум ступеня стійкості.
Швидкодія системи визначається ступенем стійкості η - так називається відстань уявної осі до найближчого кореня (або пари комплексно-сполучених коренів).
Коефіцієнти характеристичного рівняння і відповідно ступінь стійкості η будуть функціями від зазначених параметрів.
Розглянуту задачу синтезу можна сформулювати як таку задачу на екстремум : визначити α (α-вектор параметрів регулятора) з умови:
Значення
називається оптимальним ступенем
стійкості і
оптимальним (векторним) параметром.
Число параметрів регулятора (розмірність вектора α) m не повинно перевищувати n - 1 (n - ступінь характеристичного рівняння): m ≤ n-1. Якщо m ≥ n-1 і за допомогою параметрів можна довільно змінювати і коефіцієнтів характеристичного рівняння, то в цьому випадку корені характеристичного рівняння і відповідно ступінь стійкості можна зробити рівними довільно до заданих числах.
Метод вирішення сформульованої задачі заснований на умовах граничної стійкості. Тому перш за все розглянемо ці умови.