Важный интеграл.

Исследуем на сходимость , где r R

1й случай r = 1 => интеграл расходится

2й случай r ≠ 1

= = = (=*)

1. 

(=*) = +∞

Следовательно, интеграл расходится

б)

(=*)

Следовательно, интеграл сходится

Вывод:

Интеграл расходится при , сходится при

На несобственные интегралы 1-го рода можно распространить формулу Ньютона – Лейбница

=

19. Несобственные интегралы второго рода

Попробуем найти S фигуры ограниченной осями координат, прямой x=4 и графиком функции y=1/x

c

Sкр тр=

S=

Определение 1.

Пусть функция y=f(x)определена на полуинтервале (a, b] и при этом Этот предел называют несобственным интегралом второго рода. И обозначают

Если это предел равен конечному числу, то говорят, что Несобственный интеграл второго рода сходится, а если предел не существует или равен , то расходится.

В нашем примере S можно было вычислить как S= т к с- особая точка, .

Та точка, в которой функция явл-ся б/б по отношению к несобственному интегралу называется особой точкой. В роли особой точки может выступать не только нижний предел интегрирования, но и верхний

Определение 2

Пусть функция y=f(x)определена на полуинтервале [a, b) и при этом Рассмотрим предел Этот предел называют несобственным интегралом второго рода. И обозначают

Определение 3

Пусть функция y=f(x)определена на [a, c) U (c, b] и gecnm Рассмотрим предел . Этот предел называют несобственным интегралом второго рода. И обозначают

Пример

-1 0 1

На отрезке [a,b] есть особая точка О, а значит это несобств. интеграл 2-го рода.

Для несобственных интегралов 2 – го рода иногда удается использовать ф-лу Н-Л

Пусть задан несобств. интеграл на [a,b] и с – особая точка a<c<b

Потребуем, чтобы предел был равен нулю, Для этого нужно чтобы , а это значит, что первообразная F(x) должна быть непрерывна в точке с. Таким образом доказана следующая теорема.

Теорема.

Пусть для функции y=f(x) рассматриваемой на отрезке [a,b], с – особая точка a<c<b и пусть первообразная этой функции непрерывна в точке с, тогда для вычисления несобственного интеграла 2-го рода можно применить формулу Н-Л

Пример

В точке с F(x) непрерывна

20. Числовые ряды: основные понятия

Определение 1

Числовым рядом называется бесконечная сумма вида а1+ а2+ а3+… , ( )

Определение 2

Частичной суммой ряда называется сумма а1+ а2+ а3+…+ , обозначается Sn. Ряд без частичной суммы называется Остатком ряда (Rn): (а1+ а2+ а3+…+ + аn+1+ аn+2+… )=(Sn+ Rn) Остаток ряда тоже является рядом

Определение 3

Если существует и равен конечному числу предел Частичной суммы ( ) то ряд называется сходящимся, а этот предел называется суммой ряда (S) ( )

Пример 1

– сумма геометрической прогрессии у которой

Тот де результат можно было получить по известной из школы формуле суммы беск-но убывающей геометрической прогрессии :

Пример 2 (в общем виде)

Рассмотрим 4 случая:

1. – ряд сходится

2. ряд 1+1+1+1… - ряд расходится

3. – не существует т. е. расходится

4. ряд расходится

Вывод: Ряд

Пример 3

- ряд сходится

Пример 4 ( гармонический ряд)

Выпишем частичную сумму на слагаемые

Во всех скобках заменим каждое слагаемое на последнее в этой скобке. От этого сумма уменьшится

При последовательность неограниченно возрастает, а частичная сумма принимает еще большее значение поэтому последовательность частичных сумм , то есть гармонический ряд расходится