6. Интегрирование тригонометрических функций

Для интегрирования тригонометрических функций можно исследовать некоторые формулы школьной программы:

1. 

2. 

3. 

4. ;

Пример:

Помимо этого, можно использовать метод замены переменной :

1. Если при замене в подынтегральной функции sinx на -sinx поменялся знак всего выражения, то целесообразно ввести новую переменную t=cosx.

2. 

3. Если при одновременной замене sinx на -sinx и cosx на -cosx, знак подынтегральной функции не меняется, то целесообразно ввести новую переменную t=tgx или t=ctgx

Пример: 1) t=cosx; dt = -sinx

2)

Универсальная тригонометрическая подстановка:

t = . Тогда sinx=

cosx=

sinx =

cosx =

dx =

Пример:

7. Интегрирование иррациональных функций.

1) Если подынтегральная функция является рациональной относительно X и , то целесообразно ввести новую переменную t= , тогда tⁿ =

tⁿ(cx+d)=(ax+b) cx tⁿ +d tⁿ=ax+b cx tⁿ-ax=b-d tⁿ x(c tⁿ-a)=b-d tⁿ

x=

dx=…

2) Если функция является рациональной относительно Х и целесообразно под корнем выделить полный квадрат и ввести новую переменную t=kx+p

8. Суммы Дарбу. Определенный интеграл.

Пусть функция y=f(x) определена и ограничена на отрезке . Осуществим разбиение отрезка от a до b на ряд меньших участков.

a=x₀ <x₁ <x₂ <x₃ <… <x_n=b. Способ разбиения обозначим Т. Рассмотрим участок . Так как функция ограничена на отрезке от a до b, то ограничена и на участке №k, а любое ограниченное множество имеет верхнюю и нижнюю грань. Обозначим m_k=inf(x), x∈ - нижнюю грань, M_k=supf(x), x∈ - верхнюю грань. Обозначим длину участка k: x= . Составим произведение

m_k⋅ x M_k ⋅ x

Первое произведение - площадь вписанного прямоугольника, второе площадь описанного.

Сделаем тоже самое по все участкам и составим две суммы.

S_T= – нижняя сумма Дарбу

_Т – верхняя сумма Дарбу

Нижняя сумма Дарбу - площадь вписанной ступенчатой фигуры. Верхняя сумма Дарбу - площадь описанной ступенчатой фигуры .

Для любых двух разбиений T₁ и T₂ : S_{T1 Т2} . Осуществим все возможные разбиения Т (Т₁, Т₂,…,…) для каждого из них составим нижнюю и верхнюю суммы Дарбу и объединим все нижние суммы Дарбу в одно множество, а все верхние в другое, левее .

Определение. Пусть функция y=f(x) определена и ограничена на . Если множества верхних и нижних сумм Дарбу разделяются единственных числом, то функция называется интегрируемой на отрезке от a до b, а это число называется ее определённым интегралом по отрезку от a до b и обозначается .

S=

Критерий единственности разделяющего числа

_Т- S_T< ƹ

9.Свойства определенного интеграла: свойство аддитивности, теорема о среднем.

Теорема 2. (аддитивность определенного интеграла)

Если функция y=f(x) интегрируема на отрезках и РИСУНОК, то она интегрируема на отрезке , причем:

= + Свойство основано на свойстве аддитивности площади.

Теорема 3. (теорема о среднем)

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке от a до b, то c ∈ : = f(c)(b-a)

Число f(c)= называется средним значением функции y=f(x) на отрезке .

Доказательство: Так как функция непрерывна отрезке , то они интегрируема на нем. Пусть m и M- соответственно наименьшее и наибольшее значение функции на Выражения m(b-a) и M(b-a) являются нижней и верхней суммами Дарбу, соответствующими разбиению отрезка , который состоит лишь из одной части- самого этого отрезка. Но разделяет суммы Дарбу и поэтому

m(b-a) M(b-a), откуда

m M

Число заключено между m и M. Так как y=f(x)- непрерывная на функция, то по теореме о промежуточном значении, указанное значение достигается функцией в некоторой точке С отрезка :

=f(c). Откуда находим, что = f(c)(b-a). Теорема доказана.

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника, имеющего тоже основание, что и трапеция, причем высота прямоугольника равна значению функции f(c) в некоторой точке С, лежащей между a и b.