Показатель колебательности и запретная область для афчх разомкнутой системы

Как показано выше, при усложнении вида АФЧХ увеличивается количество показателей запаса устойчивости и возникают трудности при проектировании таких систем. Исправить этот недостаток позволяет переход к определению запаса устойчивости с помощью такого показателя, который одним своим значением позволяет определить полную границу запретной области для АФЧХ разомкнутой системы.

Такой показатель запаса устойчивости носит название - показатель колебательности.

Показатель колебательности обозначается символом "M".

Показатель колебательности определяется по АЧХ замкнутой системы (приведенной к структуре следящей системы) и равен максимальному значению этой характеристики. Рис.2.31. Такая оценка запаса устойчивости удобна при экспериментальном определении АЧХ замкнутой системы. При использовании ЛАХ (Рис.2.32) она определяется выражением:

М=

где

а - максимальное значение ЛАХ замкнутой системы в децибеллах.

При М=1, переходная функция имеет характер близкий к апериодическому.

Таким образом, значение характеризует колебательные свойства системы. Переходная функция системы, у которой показатель колебательности больше единицы имеет вид Рис.2.33.

Между величиной перерегулирования переходного процесса (область времени) и показателем колебательности (область часоты) существует взаимно-однозначное соответствие, которое оценивается приближенными соотношениями:

М=1.1-1.2

М=1.3-1.5 30-40%

М=1.7-2 50%-55%

Рассмотрим связь показателя колебательности с границей запретной области для АФЧХ разомкнутой системы. Выявление такой связи представляет интерес для проектирования системы.

Выполним следующие построения:

-изобразим АЧХ замкнутой системы;

-проведем прямую параллельную оси частот проходящую через экстремум функции.

Используем следующий методический прием. Будем рассматривать данную прямую в качестве характеристики некоторой гипотетической замкнутой системы, имеющей бесконечную полосу и нулевой сдвиг по фазе Рис.2.34. Приняв данную гипотезу, построим АФЧХ, соответствующей ей разомкнутой системе.

Для этого используем формулу связи частотных характеристик разомкнутой и замкнутой следящей системы:

Для замкнутой системы с постоянным значением модуля справедливо выражение:

М= =

Возведение в квадрат левой и правой части этого выражения дает уравнение:

Дальнейшее преобразование приводит к алгебраическим уравнениям:

Откуда, окончательно, получаем:

После введения обозначений,:

С= ; R = ,

поолучаем уравнение, смещенной по вещественной оси комплексной плоскости, окружности:

Параметр смещения окружности и величина ее радиуса зависит от значения постоянной М, Рис.2.35.

В координатах АФЧХ разомкнутой системы, данная окружность разделяет две области возможных значений, соответствующих на графике АЧХ замкнутой системы областям, лежащим выше прямой М и ниже ее. Внешняя область от окружности соответствует значениям меньшим М ,а внутренняя область значениям большим М

С уменьшением уровня М внутренняя область увеличивается и величина смещения центра окружности растет. В пределе, при М=1, окружность вырождается в прямую линию, параллельную мнимой оси.

Так как уровень М = М, равен максимальному значения АЧХ замкнутой реальной системы (ее показателю колебательности), то он имеет одну общую точку с реальной характеристикой замкнутой системы. Тогда соответствующая окружность в координатах АФЧХ разомкнутой системы, будет иметь также одну общую точку с АФЧХ реальной разомкнутой системы. Если АФЧХ реальной системы зайдет во внутреннюю область рассматриваемой окружности, то ей будет соответствовать больший показатель колебательности (окружность с меньшим радиусом).

Следовательно, если показатель колебательности задан, то АФЧХ проектируемой разомкнутой системы не должна заходить во внутреннюю область, ограниченную данной окружностью (Рис.2.36).

Желаемое положение АФЧХ разомкнутой системы, с требуемым показателем колебательности, определяется условием касания ее с соответствующей окружностью.

Таким образом, значение показателя колебательности однозначно определяет запретную для АФЧХ разомкнутой системы область в окрестности критической точки (-1,j0), характеризуя ее запас устойчивости в целом. Это позволяет применять показатель колебательности для формирования требования к характеристикам системе в более удобном виде , чем при использовании показателей в виде запасов устойчивости по фазе и модулю.

Для проектирования системы при формировании желаемой ЛАХ разомкнутой системы , полученная запретная область для АФЧХ, преобразуется в соответствующие запретные области для ее ЛАХ и ФЧХ.

Рассмотрим движение изображающей точки по окружности (Рис.2.37) от значения , соответствующего модулю радиуса-вектора

и аргументу равному -180 градусов, до частоты ,дающей значение модуля равное

С - R = ,

при таком же аргументе.

Согласно (Рис.2.37), на основании теоремы косинусов, получаем:

Откуда следует:

Учитывая, что

Окончательно получаем:

Данное выражение связывает нелинейной зависимостью фазовый угол и модуль границы запретной области при заданном значении параметра С, который определяется показателем колебательности. Полученная аналитическая связь между переменными запретной области в логарифмических координатах изображается на ЛЧХ и имеет вид, показанный на Рис.3.4. Единичная окружность пересекает границу запретной области на частоте , окрестность которой соответствует диапазону средних частот ЛАХ разомкнутой системы. Поэтому именно в диапазоне средних частот ЛАХ и будут располагать границы трансформированной запретной области на ЛЧХ (Рис.2.38).

Рис.2.38 показывает, что вид АЧХ запретной области близок к виду АЧХ апериодического звена, поэтому запретная область для асимптотической ЛАХ в области частоты среза разомкнутой системы близка к наклону асимптоты -1. Это позволяет принять решение, утверждающее что в области средних частот (желаемая ) асимптотическая ЛАХ разомкнутой системы должна иметь наклон не более -1. В некоторых системах (с повышенными требованиями к точности) допускается наклон равный нулю.

Границы данной асимптоты корректируются в зависимости от наклонов асимптот ЛАХ разомкнутой системы слева и справа от диапазона средних частот параметры границ данной асимптоты и их расположение относительно частоты среза – могут различаться.

Так, если ближайшие асимптоты (слева и справа) имеют одинаковые наклоны -2 (Рис.2.39), то наиболее точное приближение к границам запретной области обеспечивается при расположении частоты среза желаемой ЛАХ посередине указанной асимптоты.

В этом случае длина среднечастотной асимптоты желаемой ЛАХ разомкнутой системы равна значению , где :

h = - отношение граничных частот асимптоты в окрестности частоты среза.

lg h- значение этого длины среднечастотной асимптоты.

В том случае, если ближайшая слева асимптота имеет наклон -3,а ближайшая справа -2, (условно-устойчивая система) (Рис.2.40 ), то длина участка с наклоном -1,определяется соотношением:

h = ,

а низкочастотная граница среднечастотной асимптоты с наклоном -1 расположена относительно частоты среза на расстоянии (в долях декады) от частоты среза.

Полученные соотношения используются для построения желаемой ЛАХ разомкнутой системы по требованию к запасу устойчивости, заданному в виде показателя колебательности (М), после того как определена частота среза разомкнутой системы и выбран тип ЛАХ по соображениям динамической точности .

Лекция 2.4 Динамическая точность линейной системы при детерминированных (неслучайных) воздействиях

Содержание:

- рассматриваемое понятие динамической точности следящей системы;

- математическое описание динамической ошибки следящей системы относительно входного (полезного) воздействия с помощью передаточной функции и дифференциального уравнения;

- динамическая ошибка , вызванная возмущением на выходе (входная помеха);

- динамическая ошибка , вызванная возмущением на выходе;

- динамическая ошибка на входе силовой части системы;

- динамическая ошибка, вызванная возмущением на выходе датчика дополнительной обратной связи;

-применение метода ЛЧХ для исследования динамической точности