Критерий устойчивости Найквиста - разомкнутая система нейтральна Разомкнутая система нейтральна

Если разомкнутая система нейтральна, то ПФ разомкнутой системы в этом случае содержит некоторое количество нулевых полюсов, а все остальные полюса являются "левыми". В АФЧХ такой системы возникает разрыв на нулевой частоте. Признаком такой системы является наличие интегрирующих звеньев в составе ПФ разомкнутой системы.

В этом случае критерий устойчивости формулируется так:

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы, при изменении частоты от нуля до бесконечности, дополненная на участке разрыва дугой бесконечно-большого радиуса, не охватывала точку с координатами (-1,j0). Дополнение дугой бесконечно-большого радиуса осуществляется по часовой стрелке от направления положительной вещественной полуоси на угол, определяемый произведением 90 градусов на число нулевых полюсов разомкнутой системы.

Для примера, рассмотрим наиболее типичный случай реальной системы с одним нулевым полюсом. АФЧХ разомкнутой системы приведена на Рис.2.12 Соответствующие ей ЛАЧХ и ФЧХ показаны на Рис.2.13 На Рис.2.14 и Рис.2.15 показаны примеры устойчивой замкнутой системы при наличии двух и трех нулевых полюсов в ПФ разомкнутой системы.

Лекция 2.2 Критерий устойчивости Найквиста (разомкнутая система нейтрально-устойчива, разомкнутая система неустойчива) Содержание

- разомкнутая система нейтрально-устойчива;

-разомкнутая система неустойчива;

- правило переходов;

- обобщение критерия

Рассмотрим случай нейтрально-устойчивой разомкнутой системы. Такая система соответствует разомкнутой системе, содержащей мнимые полюсы ( консервативные звенья в составе ПФ разомкнутой системы).

Пусть ПФ разомкнутой системы содержит пару мнимых полюсов.

АФЧХ такой разомкнутой системы имеет разрыв, так как включает консервативное звено. Для использования критерия в известном виде, необходимо ликвидировать разрыв годографа, замкнув его дугой бесконечно-большого радиуса в направлении возрастания частоты.

На Рис.2.16 показан пример (АФЧХ и ЛЧХ) для следящей системы с ПФ разомкнутой системы в виде:

Годограф имеет два дополнения дугой бесконечно – большого радиуса. Последняя дуга охватывает критическую точку. Замкнутая система неустойчива.

На Рис.2.17 показан случай при ПФ вида

Вторая дуга не охватывает критическую точку, замкнутая система устойчива.

На Рис.2.18 показаны ЛАХ и АЧХ устойчивой системы с ПФ вида:

Разомкнутая система неустойчива

Рассмотрим наиболее неблагоприятный случай, когда разомкнутая система неустойчива (характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет правые полюса).

Практически такая ситуация возникает при наличии в системе внутренних неустойчивых контуров. Заметим, что при проектировании системы разработчик в большинстве случаев (в интересах отладки системы) стремится реализовать внутренние контуры с достаточной гарантией устойчивости. Однако, такие контуры могут возникнуть в процессе эксплуатации системы при изменении параметров, причем заранее учесть эти изменения сложно (например, изменение характера аэродинамической нагрузки на рулевые поверхности ЛА, смещение центра давления ЛА относительно центра масс при увеличении скорости за пределами скорости звука ).

Для применения критерия Найквиста необходимо заранее определить количество "правых" полюсов ПФ разомкнутого контура. Если ПФ разомкнутого контура представляет произведение ПФ звеньев не выше второго порядка, то количество "правых " полюсов равно суммарному порядку всех неминимально-фазовых звеньев (полиномы их ПФ содержат отрицательные коэффициенты). В общем случае необходимо найти корни характеристического уравнения разомкнутого контура и подсчитать сумму тех из них, которые содержат положительные действительные части.

Математическое решение базируется на « принципе аргумента» теории функций комплексного переменного.

Согласно данному принципу, изменение аргумента комплексной функции, представленной в виде полинома степени «n» при наличии у него «r» корней в правой полуплоскости при изменении частоты от 0 до равно

=

(каждый правый корень полинома звено смещает ФЧХ на -180 градусов- см. ЧХ не минимально-фазового звена)

Рассмотрим ПФ вида

В ее числителе расположен характеристический полином замкнутой системы, а в знаменателе характеристический полином разомкнутой системы, имеющий «правых» корней. Если допустить, что замкнутая система устойчива ( отсутствие «правых корней» в числителе) данного выражения то общее изменение аргумента функции равно разности аргументов числителя и знаменателя:

=

Поворот радиуса-вектора данной функции происходит в положительном направлении (против часовой стрелки).

Количество оборотов вектора (р) ,равно :

При смещении функции по действительной оси на -1 (переход к функции ) начало координат радиуса-вектора перемещается в критическую точку .

Обобщение полученных результатов приводит к следующему правилу (критерию):

Если разомкнутая система неустойчива и ее ПФ содержит "r" правых полюсов, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от нуля до бесконечности, радиус – вектор АФЧХ разомкнутой системы, с центром в точке с координатами (-1,j0), совершил "r/2" оборотов вокруг этой точки в положительном направлении ( против часовой стрелки). В частном случае, если разомкнутая система устойчива –количество таких оборотов равно нулю, то есть годограф не охватывает критическую точку.