Частотный критерий устойчивости Найквиста

В 1932 году появилась работа американского инженера Найквиста, посвященная исследованию устойчивости операционных усилителей, где применен рассматриваемый критерий устойчивости. Теоретическое обобщение данного критерия и его дополнение получено Михайловым, чему обязано его, встречающееся в литературе, название «критерий Найквиста-Михайлова».

Для решения задачи анализа Найквистом использована АФЧХ разомкнутой системы. В дальнейшем, благодаря методу ЛЧХ, получил широкое применение в инженерном проектировании систем управления.

Причинами этой популярности являются:

- простота и наглядность оценки близости системы к границе устойчивости;

- практическая полезность для анализа и синтеза динамики системы, так как параметры ЛЧХ разомкнутой системы непосредственно связаны с параметрами динамики элементов системы;

- процедура оценки устойчивости не зависит от порядка уравнения системы.

Практическое применение критерия связывают с характером свободного движения разомкнутой системы (устойчивостью разомкнутой системы). При этом рассматривают следующие варианты такой оценки :

1. Разомкнутая система устойчива

2.Разомккнтая система нейтральна и нейтрально-устойчива

3.Разомкнутая система неустойчива.

Первые два частных случая критерия имеют наибольшее практическое применение . Последний вариант, хотя и значительно реже встречается на практике, однако содержит обобщающее решение для всех случаев.

1.Критерий Найквиста в варианте - разомкнутая система устойчива

Поскольку разомкнутая система устойчива, то, следовательно, ее характеристическое уравнение содержит только "левые" корни. Если знаменатель ПФ разомкнутой системы содержит полином выше второго порядка (случай нулевых полюсов не рассматривается в этом варианте), то необходимо определить корни характеристического уравнения и убедится в том, что они "левые".

Для такого случая критерий формулируется в следующем виде:

Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от нуля до бесконечности, не охватывала точку с координатами (-1,j0 ).Рис.2.7.

Докажем это на примере следящей системы

Пусть ПФ разомкнутой системы имеет вид:

где

полиномы аргумента «s».

характеристический полином разомкнутой системы.

Порядок характеристического полинома больше (или равен) порядку полинома числителя (что соответствует условию физически реальной системы).

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

характеристический полином замкнутой системы

Рассмотрим аналитическую функцию , у которой в числителе находится характеристический полином замкнутой системы, а в знаменателе характеристический полином разомкнутой системы, имеющие одинаковый порядок. Определим изменение аргумента комплексной функции при изменении частоты от нуля до бесконечности, приняв исходное условие критерия – разомкнутая и замкнутая системы устойчивы. Условие устойчивости требует, чтобы все корни полиномов содержали отрицательные действительные части. Если корни полиномов определены, то каждый из полиномов может быть представлен в виде произведения типовых звеньев не выше второго порядка. При изменении частоты от нуля до бесконечности радиус вектор АФЧХ каждого звена поворачивается на угол равный произведению максимальной степени этого полинома на . Так как полиномы числителя и знаменателя разворачивают свои радиус –векторы в противоположных направлениях и имеют одинаковый порядок ,то суммарный угол поворота радиуса-вектора всей функции будет равен нулю. Геометрически это соответствует тому, что годограф этой функции не охватывает начало координат. Если от рассматриваемой функции перейти к функции , то выполнение полученного условия соответствует требованию «не охвата» точки с координатами .

На Рис.2.8 показан вид АФЧХ разомкнутой системы, при котором замкнутая система устойчива.

ЛАЧХ этой системы приведены на Рис.2.9. Они показывают, что, для устойчивости необходимо, чтобы в окрестности частоты среза (диапазон средних частот) частот фазовая характеристика должна располагаться выше уровня -180 градусов, то есть - ФЧХ разомкнутой системы ,при возрастании частоты, должна пересечь единичную окружность (частота в точке пересечения равна частоте среза) раньше, чем достигнет уровня -180 градусов.

Очевидно, граничным состоянием устойчивости системы , в этом случае, будет пересечение ЛАХW оси частот в точке, где ФЧХ пересекает уровень -180 градусов. При этом значение АЧХ замкнутой системы при такой частоте среза равно бесконечности.

Это указывает на появление в составе ПФ замкнутой системы консервативного звена (появление двух мнимых корней знаменателя ) то есть система становится нейтрально-устойчивой. Степень близости годографа к рассмотренному состоянию связывают с понятием – запас устойчивости.

В отношении чувствительности к возможной потери устойчивости системы к изменению коэффициента передачи разомкнутой системы различают понятия: абсолютно устойчивая система, условно-устойчивая система( понятие абсолютно устойчивой линейной системы не следует путать с аналогичным названием для оценки устойчивости нелинейной системы при больших начальных отклонениях). Иллюстрация данных понятий приведена на Рис.2.10 и Рис.2.11.

Как видно, абсолютно-устойчивая система устойчива при любых отклонениях коэффициента передачи (кроме значения равного бесконечности, при котором она находится на границе устойчивости).

Условно-устойчивая система устойчива только при значениях коэффициента передачи заключенных в некотором диапазоне. Для устойчивости такой системы ФЧХ разомкнутой системы не заходить за уровень - в диапазоне средних частот ЛАХ разомкнутой системы.