1. Определение минимального значения полосы пропускания

Как было показано выше, определение минимально-возможного значения «полосы пропускания» системы при воспроизведении медленно-изменяющегося воздействия сводится к возможности оценки установившейся динамической ошибки только младшими коэффициентами ряда ошибки.

При оценке такой возможности, в частотной области, показано, что это выполняется, если скорость уменьшения коэффициентов ошибки, жестко связанная с полосой пропускания системы, больше значения частоты, являющейся физической границей амплитудного спектра воздействия.

Однако, полученный теоретический результат практически, при выборе минимальной полосы пропускания системы, использовать затруднительно, в связи с неопределенностью оценки физической границы спектра воздействия .

Практическое решение находится при исследовании быстроты сходимости ряда ошибки в области времени.

Для практической гарантии надежности этого решения, исследуем быстроту сходимости ряда составленного из максимальных значений его слагаемых ,взятых по модулю:

Такой ряд дает гарантированное решение, допуская предельную ситуацию , в которой все производные воздействия одновременно максимальны и суммируются по модулю.

Оценим необходимую быстроту сходимости ряда ошибки для наиболее часто применяемых типовых характеристик следящей системы.

1. Типовая желаемую ЛАХ вида 1.2.1.

Пусть ей соответствует (в качестве примера) ПФ вида:

Как было показано выше, условие достаточности полосы пропускания для системы с данной типовой характеристики требует выполнения соотношения:

В этом случае установившаяся ошибка может определиться только двумя первыми коэффициентами ошибки:

Практическая реализация такой оценки установившейся ошибки в области времени соответствует ее описанию таким рядом, в котором старшие слагаемые ряда ошибки (начиная с третьего) будут настолько быстро убывать, чтобы их можно было не учитывать. Реально, такая быстрота убывания слагаемых ряда, обеспечивается, если выполняется следующее условие:

где

последняя составляющая ограниченного ряда (определяется последним младшим коэффициентом ошибки);

составляющая ряда ошибки через одну после последней составляющей ограниченного ряда-

Используя, выше полученную связь между старшими коэффициентами ошибки для данной типовой характеристики,:

получаем:

;

Используя условие равенства в соотношении максимальных составляющих ряда, получаем :

, откуда следует :

Для примера рассмотрим типовой закон изменения угла линии визирования при движении ЛА и объекта на параллельных траекториях при постоянной скорости.

Для такого закона входного воздействия существуют точные значения модулей максимумов всех необходимых производных, выраженных через параметр «с».

Так:

Используя, приведенные оценки производных воздействия для типовой ЛАХ 1.2.1 получаем:

Для типовой характеристики 1.1.1 получаем.

Выше полученное требование в частотной области

Обеспечивает описание установившейся ошибки рядом:

Реализуя требование к быстроте сходимости ряда и выражение для старших коэффициентов ошибки:

Получаем

;

для рассматриваемого примера типового воздействия при :

;

Получаем

Данное выражение определяет минимальное значение частоты среза разомкнутой системы.

Рассмотрим типовую желаемую ЛАХ для системы повышенной точности 1.3.1 :

Пусть ПФ разомкнутой системы имеет вид:

Условие минимума частоты в частотной области имеет вид:

При этом установившаяся ошибка может быть описана выражением:

Необходимая скорость сходимости ряда ошибки в этом случае задается соотношением:

Используя выше полученную зависимость для старших коэффициентов ошибки :

приходим к выражению:

для примера типового закона изменения воздействия, получаем:

Таким образом, располагая аналитическим описанием воздействие и выбрав тип желаемой характеристики, можно определить минимально-необходимое значение частоты , а также связанное с ней требованием запаса устойчивости, значение частоты среза желаемой ЛАХ разомкнутой системы. Данное решение является первым этапом формирования желаемой ЛАХ системы, реализующим выполнение необходимого условия для ее дальнейшего синтеза. Вторым этапом полного решения задачи синтеза желаемой ЛАХ, является выполнение достаточного условия, обусловленного требованием обеспечения допустимой динамической ошибки системы.