Ряд установившейся динамической ошибки следящей системы и коэффициенты ошибки

Рассматривается метод исследования вынужденной установившейся динамической ошибки системы при воздействиях, имеющих произвольный вид, но ограниченных по быстроте изменения.

Такой метод является особенно важным для проектирования таких систем, в которых требования к динамической точности в основном режиме работы, связаны с установившимся движением, а время затухания переходной ошибки намного меньше полного времени процесса регулирования (САС, системы наведения).

Физическое ограничение быстроты изменения воздействия определяется практическим ограничением амплитудного спектра воздействия некоторой частотой .

Если данная частота меньше полосы пропускания системы (приближенно ее можно оценить частотой среза разомкнутой системы), то такое произвольное воздействие называют медленно-изменяющимся.

При выполнении данного условия вынужденную установившуюся динамическую ошибку системы можно приближенно описать с помощью сходящегося ряда.

Возможность такого описания установившейся динамической ошибки следует из разложения в ряд передаточной функции ошибки в окрестности нуля ( при "s" ):

При этом изображение динамической ошибки также представляется в виде ряда:

Переходя к оригиналу, получаем:

Коэффициенты разложения в ряд установившейся ошибки системы называют коэффициентами ошибки. Нумерация коэффициентов ошибки совпадает с порядком производной воздействия.

Рассматриваемое описание установившейся ошибки распространяется на любое возмущение произвольного вида, воздействующего на систему, если его спектр ограничен полосой пропускания контура, охватывающего его.

Рассматриваемое представление вынужденной динамической ошибки системы дает еще один признак астатизма системы относительно некоторого воздействия.

Так ряд ошибки показывает, что, если при наличии некоторой постоянной производной воздействия, величина соответствующего этой производной коэффициента ошибки отлична от нуля, а все предшествующие коэффициенты ошибки равны нулю, то порядок астатизма системы равен номеру этого коэффициента ошибки.

Например, при астатизме третьего порядка :

Порядок астатизма равен количеству первых коэффициентов ошибки равных нулю.

Вычисление коэффициентов ошибки

В общем случае для вычисления коэффициентов ряда вынужденной установившейся ошибки можно воспользоваться общей формулой коэффициентов ряда Маклорена. Однако такой путь приводит к громоздким выражениям.

Эффективна вычислительная процедура, предложенная Кингом Л.Г и, доведенная до удобного практического применения, проф. Терсковым В.Г.

Так, если выражение для разложения в ряд передаточной функции имеет вид:

то коэффициенты ошибки можно определить с помощью пределов рекуррентных выражений:

K =

и т.д

Проф. Терсковым В.Г. показано, что если ПФ ошибки представлена в виде отношения полиномов:

,

то применение рекуррентных формул Кинга Л.Г приводит к следующим выражениям :

и т.д