Аналитические признаки порядка астатизма

1.Структурный признак

Если воздействия приложены в прямом тракте структуры системы, то порядок астатизма равен количеству интегрирующих звеньев, расположенных в тракте передачи сигнала от координаты ошибки до рассматриваемого воздействия.

2. По передаточной функции ошибки.

Определяется количеством нулевых корней в числителе ПФ ошибки относительно рассматриваемого воздействия

3. По ЛАХ ошибки относительно отдельного воздействия

Порядок астатизма равен положительному индексу наклона первой асимптоты ЛАХ ошибки.

Аналитическое доказательство порядка астатизма связано с теоремой преобразования Лапласа о конечном значении оригинала.

Рассмотрим это доказательство на отдельных примерах

1. Пусть ПФ следящей системы, замкнутой по положению в пространстве, в разомкнутом состоянии имеет вид

ЛАХ разомкнутой системы и ЛАХ ошибки относительно входного воздействия на Рис.2.54.

ПФ ошибки относительно входного управляющего воздействия опишется выражением:

Определим установившуюся ошибку, воспользовавшись теоремой о конечном значении оригинала (свойство преобразования Лапласа):

При ступенчатом воздействии на входе

a - постоянная величина

получаем:

Выражение показывает, что в системе существует постоянная установившаяся ошибка, пропорциональная величине постоянного входного воздействия. Система является статической в отношении входного воздействия (нулевой порядок астатизма) (Рис.2.55). Коэффициент пропорциональности, между ошибкой и воздействием называют коэффициентом ошибки по нулевой производной воздействия (в конкретном случае- по положению). В инженерной практике следящих приводов величину обратную ему принято называть добротностью по положению. Смысл такого понятия в том, что чем выше добротность по положению, тем меньше установившаяся ошибка отработки следящей системой заданного положения.

Аналитические признаки порядка астатизма подтверждают полученный результат:

-в структуре системы отсутствуют интегрирующие звенья в канале связи ошибки и воздействия ;

- в числителе ПФ ошибки отсутствуют нулевые корни;

- ЛАХ ошибки имеет первую асимптоту с индексом наклона -0.

Оценим порядок астатизма относительно входного воздействия в системе, ПФ которой в разомкнутом состоянии имеет вид:

ПФ ошибки относительно входного воздействия имеет вид:

ЛАХ разомкнутой системы и ЛАХ ошибки от входного воздействия показаны на Рис.2.56.

Установившаяся динамическая ошибка относительно заданного положения равна:

При входном воздействии, изменяющемся с постоянной скоростью:

Установившаяся ошибка равна:

Согласно определению порядка астатизма, данная система относительно входного воздействия имеет первый порядок астатизма

Коэффициент пропорциональности между величиной ошибки и значением скорости воздействия называется коэффициентом ошибки по скорости воздействия. В инженерной практике следящих приводов обратную величину называют добротностью по скорости. В такой системе добротность по скорости равна коэффициенту передачи разомкнутой системы. Такая оценка ошибки может быть использована для определения коэффициента передачи разомкнутой системы в эксперименте с замкнутой системой.

Используем аналитические признаки порядка астатизма:

1.В структуре системы между координатой ошибки и воздействием имеется одно интегрирующее звено.

2.ПФ ошибки содержит в числителе один нулевой корень.

3.ЛАХ ошибки имеет первую асимптоту (Рис.2.56) с индексом наклона "+1".

Процессы динамической ошибки при различных воздействиях приведены на Рис.2.57 и Рис.2.58

Рассмотрим возможность повышения порядка астатизма. Согласно структурному признаку астатизма порядок его определяется количеством интегрирующих звеньев в канале между воздействием и координатой ошибки. Введем в прямую цепь системы (в ее управляющую часть), реализованное в электронном виде, дополнительное звено и проанализируем результат. ЛЧХ такой системы (Рис.2.59) показывают, что запас устойчивости в такой системе отсутствует. Система неустойчива. Поэтому такой способ повышения порядка астатизма входит в острое противоречие с задачей обеспечения необходимого запаса устойчивости.

Рассмотрим возможность компромиссного решения.

Введем в прямой канал системы звено с ПФ (Рис.2.60):

Простейшая реализация такого звена - параллельное соединением интегратора (с коэффициентом ) , с пропорциональным звеном с коэффициентом равным единице («изодромный» блок , ячейка Боднера).

Тогда ПФ разомкнутой системы определяется выражением:

ПФ ошибки имеет вид:

где

ЛАХ разомкнутой системы и ЛАХ ошибки от входного воздействия показаны на Рис.2.61. Система имеет достаточный запас устойчивости. Проанализируем точность в установившемся движении.

Выражения для установившихся динамических ошибок от постоянного входного воздействия:

Ошибка, вызванная входным воздействием, изменяющимся с постоянной скоростью:

.

Установившаяся ошибка от воздействия, изменяющегося с постоянным ускорением:

Система имеет второй порядок астатизма относительно входного воздействия.

Коэффициент пропорциональности между установившейся ошибкой и значением ускорения называется коэффициентом ошибки по ускорению. Величина обратная ему – называют добротностью по ускорению. Изменения динамической ошибки показаны на Рис,2.62.

Это подтверждается и тем, что в тракте между координатой ошибки и воздействием содержится два интегрирующих звена .ПФ ошибки имеет в числителе два нулевых корня. ЛАХ ошибки относительно воздействия имеет первую асимптоту с индексом наклона "+2