Раздел.2. Анализ динамических свойств линейной стационарной системы.

Лекция 2.1 Устойчивость линейной стационарной системы и критерии устойчивости.

Содержание

- понятие устойчивости;

- условие устойчивости и его геометрическая интерпретация;

- понятие критерия устойчивости;

- алгебраический критерий устойчивости (критерий Гурвица);

- частотный критерий устойчивости Найквиста (разомкнутая система устойчива, разомкнутая система нейтральна )

Понятие устойчивости

Понятие устойчивости имеет широкий смысл и распространяется в общем случае на любые системы, а не только на системы управления. Данное свойство распространяется как на управляемые, так и неуправляемые процессы. Например, к неуправляемым процессам можно отнести процессы небесной механики. Простым примером, поясняющим это свойство в отношении устойчивости положения (статическая устойчивость ) является механическая система «шар-поверхность». Возможные состояния устойчивости положения приведены на Рис.2.1 Положение является устойчивым, если при случайном отклонении шара, вызванном некоторым возмущением от невозмущенного положения, он, после снятия возмущения, вызвавшего это отклонение, вернется в состояние сколь – угодно близкое к невозмущенному положения.

По аналогии с устойчивостью положения,- устойчивость движения связана с понятиями невозмущенного и возмущенного движения.

Невозмущенное движение – это движение при отсутствии возмущений.

Невозмущенное движение считается устойчивым, если в результате возникновения возмущения и последующего снятия его, возмущенное движение, по истечении некоторого промежутка времени, оказывается в заданной области невозмущенного движения ( рис.2.2)

Устойчивость есть категория, относящаяся к движению системы, которое

определяется внутренними свойствами системы и ненулевыми начальными условиями, а не внешними воздействиями!

Условие устойчивости линейной системы

Устойчивость движения линейной стационарной системы управления оценивается по характеру развития собственного (свободного от воздействий) движения системы, инициированного ненулевыми начальными условиями (часто их называют - начальными возмущениями). Если система линейна, то данное движение не зависит от величины начальных отклонений переменных (в отличие от нелинейной системы) и поэтому понятие "устойчивость движения" можно заменить равноценным понятием "устойчивость системы".

Математически движение линейной стационарной системы полностью определяется решением дифференциального уравнения, которое содержит две составляющие: общее решение однородного уравнения и решение, определяемое правой частью уравнения при нулевых начальных условиях. Таким образом, именно общее решение определяет движение системы, порожденное ненулевыми начальными условиями (свободное движение) и, следовательно, определяет устойчивость системы. Вторая составляющая полного решения уравнения (частное решение) определяет вынужденное движение системы.

При оценке устойчивости линейной системы используют понятия: асимптотически устойчивая система, неустойчивая система, нейтральная система (устойчивая не асимптотически). нейтрально-устойчивая система (на границе устойчивости).

Рассмотрим эти понятия.

Система называется асимптотически устойчивой, если свободное движение со временем полностью прекращается (затухает).

Если сводное движение неограниченно развивается (либо монотонное изменение переменных, либо возрастание их амплитуды при колебательном процессе), то такая система неустойчива.

В случае нейтральной системы уравнение точно определяет затухание производной (производных) выходной переменной, а изменение самих переменных определяется начальными условиями ( система с нулевыми полюсами в передаточной функции).

Система называется нейтрально-устойчивой, если свободное движение представляет незатухающие колебания с постоянным уровнем. Такое движение соответствует нахождению системы на границе устойчивости. Заметим, что такое состояние в реальной системе длительно существовать не может, так как сколь угодно малые изменения параметров делают систему либо устойчивой, либо неустойчивой.

В том случае, если ПФ не вырождена (не сокращены нули и полюса), об устойчивости системы можно судить и по поведению весовой (и переходной) функции.

Свободное движение, при некратных корнях характеристического уравнения, полностью описывается выражением, имеющим вид:

где

корни характеристического уравнения "вход- выход"

Если известна ПФ замкнутой системы то характеристическое уравнение получается приравниваем нулю знаменателя.

Согласно решению однородного дифференциального уравнения тенденция развития свободного движения зависит только от знака действительных частей корней характеристического уравнения. Если абсолютно все корни имеют отрицательные действительные части, то все составляющие свободного движения затухают. Если, хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, то общее решение неограниченно возрастает - система неустойчива.

Рассмотренное требование к корням характеристического уравнения и составляет содержание условия устойчивости линейной стационарной системы.

Согласно этому условию - прямым методом определения устойчивости линейной системы является - определение и оценка знаков действительных частей корней характеристического уравнения системы.

Для проверки устойчивости, часто используют геометрическую иллюстрацию в комплексной плоскости корней Рис 2.3 (широко применяется для изучения устойчивости при изменении положений корней в процессе работы системы)

На Рис.2.4 показаны примеры собственного движения для системы второго порядка, при различных корнях характеристического уравнения.

1.Согласно геометрической иллюстрации условия устойчивости - для асимптотической устойчивости системы все корни характеристического уравнения (полюсы ПФ) должны быть расположены слева от мнимой оси (должны быть "левыми").