ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 12. ИНЖЕНЕРНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Цель работы: Рассмотреть решение реальных математических и технических задач в среде PTC Mathcad/SMath Studio. Научиться производить символьные преобразования, строить алгоритм и использовать элементы программирования.

12.1. PTC MATHCAD

12.1.1. Поиск корней

Для нахождения корня уравнения (нуля функции), т.е. точки, где значение функции равно нулю (графически пересекает ось X) используется функция root( ). Эта функция может использоваться в двух вариантах – двухаргументном и четырёхаргументном. Более старая реализация двухаргументного варианта root(f(x),x) использует метод секущих и требует предварительного задания начального приближения x, и не всегда возвращает ближайшую точку, в которой функция равна нулю. Оба аргумента должны быть скалярными, функция возвращает скаляр. Для нахождения корней заданное уравнение необходимо преобразовать в функцию с указанием имении аргумента, перенеся содержимое правой части в левую с обратным знаком. Необходимо найти решение уравнения ex=x3. Преобразованное выражение в функцию имеет вид «y(x):= ex–x3». Загрузите Mathcad. В новом документе введите эту функцию, ниже постройте её X-Y график, увеличьте размер графика до трети листа, установите отображение осей по центру. Т.к. функция имеет крутые ветви, интересующая нас область пересечения оси Х видна плохо, используя указание границ отображения на графике, масштабируйте изображение (по умолчанию, без указания границ, Mathcad строит график в диапазоне –10..10). Выделите функцию (нажмите на её изображении левой кнопкой мыши), слева и справа параметра построения графика расположены значения границы отображения, принятые по умолчанию выделяются угловыми маркерами снизу. Измените левое значение границы с –10 на –5. Измените правое значение границы с 10 на 5. Ещё

291

раз измените значение левой границы с –5 на –2. Теперь характер функции у оси X и две точки пересечения отчётливо видны. Первая – рядом с точкой +2, вторая – рядом с точкой +5.

Ниже графика задайте начальное приближение и вычислите значение корня. Введите «x:=2 root(y(x),x)=». Выделите мышью эти два выражения, переместите ниже, удерживая клавишу Ctrl, будет создана копия блоков (также копирование можно выполнить Ctrl+C/Ctrl+V). Для дальнейшего использования, результат функции root() можно присвоить переменной или задать собственную функцию. В первом выражении копии измените в присваивании x значение 2 на 5. Преимуществом двухаргументной реализации является возможность возвращать комплексные корни. Четырёхаргументная реализация функции root(y(x),x,a,b) не требует внешнего задания начального приближения, а указывает границы поиска между значениями переменных a и b. Четырёхаргументная реализация использует для нахождения корней метод половинного деления. Ниже введите «root(y(x),x,1,2)=». Скопируйте выражение ниже и измените границы поиска с 1–2 на 4–5. Предпочтительнее использовать этот вариант реализации. Сохраните документ как MC9.xmcdz.

В новом документе аналогично предыдущему примеру, с построением графика и использованием четырёхаргументной реализации функции root() самостоятельно найдите корни выражения x3=10x–2. Сохраните документ как MC10.xmcdz.

Полученное выражение y(x):=x3–10x+2 является полиномом105, у которого значение коэффициента C2 у x2 равно нулю (y(x)=x3+0x2–10x+2).

(многочлен) – функция одной переменной вида f(x)=C0+C1x+…+Cnxn, где ci фиксированные коэффициенты, а x – переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры». С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе. Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на

292