11.1.3. Единицы измерения

Mathcad позволяет оперировать единицами измерений. В математических блоках после идентификаторов в выражении рекомендуется использовать единицы измерения. Результат выражений, идентификаторы которых заданы с единицами измерений, также будет отображаться с соответствующими единицами измерения. Использование единиц измерения позволяет вводить данные в любой удобной системе измерения, Mathcad пересчитает их в единую систему автоматически.

Создайте новый документ, введите в нём следующие выражения: l := 4000, установите курсор в конце строки формулы и нажмите кнопку

Вставить единицу измерения панели Стандартная. В поле Размерность выберите Длина, в поле Единица измерения выберите Метр.

Введите формулу τ = 0.5, задайте единицы измерения Время/Час. Введите формулу v := l/τ =, результат будет выведен в системе СИ в м/с. Для изменения вывода в другой системе измерений, в маркер в конце строки введите новые единицы измерения – km/hr (км/час), результат будет автоматически пересчитан в новых системах измерений. Можно вывести результат, используя национальные обозначения системы измерений, для этого в начале документа необходимо присвоить «км := km» и «час := hr». Затем вместо km/hr в единицы измерения формул можно вставлять км/час.

Выполните команду Справка/ Справочные таблицы, войдите в раз-

дел Фундаментальные константы (Fundamental Constants), перенесите в документ значения масс частиц (mэлектрона, mпротона, mнейтрона), скорость света – из окна единицы измерения: Скорость/ скорость света (c). Для задания имён переменных массы используйте смещение части имени вниз точкой. Найдите энергию электрона, протона и нейтрона по эйнштейновской формуле E = m c2. Используйте единицы измерения. Сохраните документ командой Файл/Сохранить (Ctrl+S) с именем MC1.xmcdz (с использованием сжатия).

251

11.1.4. Дискретные переменные, массивы

Одиночное число в Mathcad называется скаляром91. Столбец чисел называется вектором, а прямоугольная таблица чисел – матрицей. Общий термин для вектора или матрицы – массив. Размер обычного массива не может превышать 600 элементов, поэтому для работы с большими массивами используется Таблица.

Mathcad позволяет задавать переменные с пределами изменения, что фактически определяет возможность проведения циклических вычислений. Фактически дискретная переменная (в некоторых источниках её также называют ранжированной) является набором чисел в заданном интервале с постоянным шагом приращения значения. Для создания дискретной переменной, ей присваивают диапазон значений, состоящий минимум из значения Начало_диапазона, оператора диапазона – двойной точки, горизонтального двоеточия (..), который является отдельным символом и его вводят с панели инструментов Матрица или нажатием точки с запятой (;), и значения Конец_диапазона. В этом случае шаг приращения по умолчанию равен единице. В новом документе (Ctrl+N) введите выражение: «m := 0 .. 9», ниже введите «m =», будет выведен вектор значений от 0 до 9 с шагом 1 в виде таблицы. Для указания шага, отличного от единицы, используют схему диапазона «Первый, второй .. последний», Mathcad высчитывает шаг как разницу между вторым и первым элементами последовательности. Установите красный маркер правее присваивания переменной m, заданной ранее. Введите выражение «x := –1, –0.8 .. 1», ниже введите «x =». Шаг значений задан разностью –0,8 и –1, и составляет 0,2. Проведём ещё один эксперимент с дискретными переменными. Справа от присвоения x введите выражение «y := 0, 0.3 .. 2», ниже «y =». Как видно, шаг не кратен

91 Скаляр (от лат. scalaris – ступенчатый) – величина (возможно переменная, то есть функция), каждое значение которой может быть выражено одним числом (чаще всего подразумевается действительное число). При смене системы координат скаляр остаётся неизменным (инвариантным), в отличие, например, от компонент вектора, которые могут быть разными у одного и того же вектора в разных системах координат.

252

диапазону, поэтому значение верхней границы выпадает из списка и последнее значение равно 1,8.

Если аргументом функции является дискретная переменная, результатом будет вектор. Введите выражение «z := –0.5π,–0.5π+0.3..0.5π», затем «sin(z) =». Самостоятельно задайте и выведите значения дискретной переменной w в диапазоне от –5 до 5 с шагом 0,25.

Матрицы можно рассматривать как n одномерных массивов, каждый из которых имеет m элементов. Массивы, элементы которых являются массивами называются составными. Векторы и матрицы имеют имена и характеризуют совокупность значений ряда их элементов. Элементы векторов характеризуются порядковым номером или индексом. Например, если задан вектор V, то его элементами будут V0, V1, V2 и т.д., в общем виде Vi, где i – индекс. По умолчанию нумерация идет с нуля, но может быть задана значением системной переменной ORIGIN. Матрицы имеют элементы с двумя индексами, один из которых указывает на номер строки, а другой – на номер столбца. Например, если задана матрица М, то её элементами будут М0,0, M0,1, М2,3 и т.д., в общем виде Мi,j.

Для задания матрицы установите курсор на место ввода, введите

«M :=», вызовите команду Матрица или вектор панели Матрица

(Ctrl+М). Укажите число строк 3 и число столбцов 3. Заполните матрицу числами (1, 3, 6, 4, 7, 5, 2, 9, 8), перемещаясь по маркерам ввода элементов матрицы с помощью клавиши Tab или клавиш управления курсором со стрелками. Это окно позволяет также удалять или добавлять строки и столбцы (завершать эти операции нужно кнопкой закрыть).

Для вычисления определителя92 матрицы введите с клавиатуры символ вертикальной черты «|» или кнопкой Определитель панели Матрица, появляется пара вертикальных линий, в маркер ввода между которыми впишите имя матрицы M и нажмите =. Для получения значения отдельного элемента, обратитесь к нему по индексу. Введите «M [ 0, 2 =»,

92 Определитель (или детерминант) – многочлен от элементов квадратной матрицы. Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A). Для матрицы n×n определитель задаётся рекурсивно:

n

( 1)1 j a1 j M 1j , где M 1j – дополнительный минор к элементу a1j. При

j 1

транспонировании определитель матрицы не изменяется. 253

появится M0,2 = 6 (ниже в работе для указания индекса массива используйте открывающую квадратную скобку, точка используется для записи части имени в подстрочном положении и к индексам отношения не имеет). Отсюда следует, что первый индекс указывает строку 0, а второй – столбец 2, нумерация начинается с нуля. Для указания индекса

можно также использовать кнопку Индекс xn панели Матрица. Введите

M, нажмите кнопку Транспонирование матрицы MT (Ctrl+1) и равно (в

транспонированной матрице строки заменены на столбцы). Вычислите сумму всех элементов матрицы M. Дважды нажмите кнопку Сумма (Ctrl+Shift+$) панели Математический анализ, под первым знаком суммы введите i = 0, под вторым j = 0, над каждым из них двойку, в

суммирует полученные суммы строк. Используя единственную функцию итеративной суммы, самостоятельно вычислите сумму элементов главной диагонали матрицы M.

Извлеките столбец матрицы, введите M, нажмите кнопку Столбец матрицы M< > (Ctrl+6), введите 0 в маркер ввода столбца и нажмите =. С помощью команд панели Матрица вычислите скалярное93 X Y и векторное94 произведение X Y нулевого и первого столбца матрицы M.

93 Скалярное произведение над двумя векторами возвращает число, характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними.

a,b a b cos a,b

94 Векторное произведение – это вектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции векторное умножение над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов – длина векторного произведения двух векторов равна произведению их длин, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны. Векторное произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространстве. В отличие от скалярного произведения, векторное зависит от ориентации системы координат или, иначе, «хиральности».

254