MATHCAD_ИНОСТР_НОВАЯ2
.pdf
Задача 10. Вычислить значение выражения
15
X3 (zi a),
i2
где a = 23; zi– элементы одномерного массива Z (z1,z2,...z10).
Значения элементов массива задать произвольно.
Задача 11. Вычислить значение выражения
8
F1 c2 (yi x)2,
i 2
где c = 12; x = 1,5;
yi – элементы одномерного массива Y (y1,y2,...y8).
Значения элементов массива задать произвольно.
Задача 12. Вычислить значения элементов массива qi по
формуле
q |
ex (a |
( k 1)1/3) b , |
i |
i |
i |
где i= 1,2...10; |
|
|
ai – элементы одномерного массива A (a1,a2,...a10); bi – элементы одномерного массива B (b1,b2,...b10); qi – элементы одномерного массива Q (q1,q2,...q10); x=2; k=3,5.
Значения элементов массивов A (a1,a2,...a10) и B (b1,b2,...b10)
задать произвольно.
41
ТЕМА 6 Векторные и матричные операторы
6.1. Краткие теоретические сведения
Некоторые из операторов MATHCAD имеют особые значения в применении к векторам и матрицам. Например, символ умножения означает просто умножение, когда применяется к двум числам, но он же означает скалярное произведение, когда применяется к векторам, и умножение матриц – когда применяется к матрицам.
42
Таблица6.1–ВекторныеиматричныеоператорыMATHCAD
Операция |
Обозначение |
Клавиши |
Описание |
|||||||||
Умножениематрицына |
A·Z |
* |
Умножает каждый элемент А на |
|||||||||
скаляр |
|
|
|
|
|
|
скаляр z |
|||||
Скалярное произведение |
u·V |
* |
Возвращает скаляр: ui vi |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Векторы должныиметь |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
одинаковое число элементов. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матричноеумножение |
A·B |
* |
Возвращает произведение |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
матриц А и В, число столбцов в |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
А должно соответствовать |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
числу строк в В. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A·V |
* |
Возвращает произведение |
|||||||||
Умножениематрицына |
|
|
|
|
|
|
матриц А и v, число столбцов в |
|||||
вектор |
|
|
|
|
|
|
А должно соответствовать |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
числу строк в v. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Деление |
|
A |
/ |
Делит каждый элемент массива |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
на скаляр z.. |
|||||
|
|
z |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Сложениевекторов |
A+B |
+ |
Складывает соответствующие |
|||||||||
и матриц |
|
|
|
|
|
|
элементы Аи В, массивы А и В |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
должны иметь одинаковое число |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
строк и столбцов. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Скалярная сумма |
A+z |
+ |
Добавляет z к каждому |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
элементу А. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Векторное и матричное |
A–B |
– |
Вычитаетсоответствующие |
|||||||||
вычитание |
|
|
|
|
|
|
элементымассива А из |
|||||
|
|
|
|
|
|
элементов массива В, массивы А |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
и В должны иметь одинаковые |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
размеры. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Скалярное вычитание |
A–z |
– |
Вычитает z из каждого элемента |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
А. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Изменение знака |
–A |
– |
Умножает все элементы А на –1. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Степени матрицы, |
Mn |
^ |
n-ная степень квадратной |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
матрицы М(использует |
||||||
обращение |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
умножение матриц), п должен |
||||||
матриц |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
быть целым числом. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
М-1 представляет матрицу, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
обратную к М, другие |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
отрицательные степени — |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
степени обратной матрицы. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Возвращает матрицу. |
|||||
Длинавектора |
|v| |
l |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
Возвращает v v, где v — |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
вектор, комплексно |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
сопряженный кv. |
|||||
Детерминант |
|
M |
|
|
l |
Возвращает детерминант |
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
квадратной матрицы М, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
результат — скаляр. |
|||||
43
Окончаниетабл.6.1
Операция |
Обозначение |
Клавиши |
Описание |
Транспонирование |
AT |
[Ctrl]1 |
Возвращает матрицу, чьи строки |
|
|
|
— столбцы А, и чьи столбцы — |
|
|
|
строки А. |
|
|
|
А может быть вектором или |
|
|
|
матрицей. |
|
u v |
[Ctrl]8 |
Возвращает векторное |
Векторноепроизведение |
|
|
произведениедля векторов с тремя |
|
|
|
элементами u и v. |
Суммированиеэлементов |
v |
[Ctrl]4 |
Суммирует элементы вектора v; |
|
|
возвращает скаляр. |
|
|
|
|
|
Векторизация |
|
[Ctrl]– |
Предписывает в выражении с А |
A |
|
производить операции |
|
|
|
||
|
|
|
поэлементно. |
Верхний индекс |
A<n> |
[Ctrl]6 |
Извлекает n-ный столбец массива |
|
|
|
А. Возвращает вектор. |
Нижнийиндекс(вектора) |
vn |
[ |
n-ный элемент вектора. |
|
|
|
|
Нижниеиндексы матрицы |
Am,n |
[ |
Элементматрицы, находящийся в |
|
|
|
т-номрядуи n-ной строке. |
Вэтойтаблице
AиB представляютмассивы(векторыилиматрицы)
uиv представляютвекторы
M представляетквадратнуюматрицу
ui и vi представляютотдельныеэлементывекторовu и v
zпредставдяетскаляр
mиnпредставляютцелыечисла
|
Векторные и матричные функции. |
|
|
Имя функции |
Возвращается… |
rows(A) |
Число строк в массиве А. Если А — скаляр, возвращается 0. |
|
|
cols(A) |
Число столбцов в массиве А. Если А скаляр,возвращается0. |
|
|
length(v) |
Число элементов в векторе v. |
|
|
last(v) |
Индекс последнего элемента в векторе v. |
|
|
max(A) |
Самый большой элемент в массиве А. |
|
|
min(A) |
Самый маленький элемент в массиве А. |
44
45
ТЕМА 7 Решение систем уравнений
7.1. Краткие теоретические сведения
1 способ решения (для систем линейных уравнений)
В соответствии с правилом умножения матриц систему уравнений можно записать в матричном виде:
A Z B,
где A– коэффициент при неизвестных, называется матрицей системы;
B– матрица-столбец, элементами которой являются правые части уравнений, называется матрицей правой части.
Матрица-столбец Z , элементы которой искомые неизвестные, называется решением системы.
Z A 1 B, где A 1– обратная матрица.
Для решения систем линейных алгебраических уравнений типа
A Z B применяется функция lsolve(A, B).
2 способ решения (для решения систем линейных и нелинейных уравнении).
Для решения системы уравнений используется специальная конструкция, называемая решающий блок. Блок открывается ключевым словом GIVEN (заголовок блока). Дальше идет система уравнений. При вводе системы уравнений используется знак <=> , который получается нажатием клавиш <Ctrl > + < = >. Концом блока является выражение, содержащее функцию FIND.
FIND (список ведущих переменных)
перечень переменных блока, относительно которых должна быть решена система
Все переменные блока должны быть предварительно определены до начала блока (задаем начальное приближение).
7.2. Задачи для выполнения лабораторных работ
Листинг 7.1. Решить систему линейных уравнений – способ 1
0,87x1 0,27x2 0,22x3 0,18x4 1,21
0,21x1 x2 0,45x3 0,18x4 0,33
0,12x1 0,13x2 1,33x3 0,18x4 0,480,33x1 0,05x2 0,06x3 1,28x4 0,17
46
Решение системы линейных уравнений - способ 1
ORIGIN : 1
Матрица коэффициентов при неизвестных системы уравнений
|
0.87 |
0.27 |
0.22 |
0.18 |
|
|
|
|
1 |
0.45 |
0.18 |
|
|
A : |
0.21 |
|
||||
0.12 |
0.13 |
1.33 |
0.18 |
|
||
|
||||||
|
|
0.05 |
0.06 |
1.28 |
|
|
|
0.33 |
|
Вектор правых частей системы уравнений
1.21
B : 0.33
0.48
0.17
Решение системы уравнений
Z : lsolve(A,B)
Вывод результатов решения
1.277 |
|
|
|
|
1.277 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.444 |
или |
|
1 |
0.444 |
|
|
Z 0.262 |
A |
|
B 0.262 |
|
||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0.202 |
|
|
|
|
0.202 |
|
Проверка правильности решения
0.87 Z1 0.27 Z2 0.22 Z3 0.18 Z4 1.21
47
Листинг 7.2. Решить систему линейных уравнений – способ 2
0,87x1 0,27x2 0,22x3 0,18x4 1,21
0,21x1 x2 0,45x3 0,18x4 0,33
0,12x1 0,13x2 1,33x3 0,18x4 0,480,33x1 0,05x2 0,06x3 1,28x4 0,17
Решение системы линейных уравнений - способ 2
ORIGIN : 1
x1 : 1 |
x2 : 1 x3 : 1 x4 : 1 Задание начальных значени |
Given |
Начало блока решения |
0.87 x1 0.27 x2 0.22 x3 0.18 x4 = 1.21
0.21 x1 x2 0.45 x3 0.18 x4 = 0.33
0.12 x1 0.13 x2 1.33 x3 0.18 x4 = 0.48 0.33 x1 0.05 x2 0.06 x3 1.28 x4 = 0.17
Задание
системы
уравнений
Z : Find(x1,x2,x3,x4)
1.277
Z0.444
0.262
0.202
Решение
Вывод результатов решения
Проверка правильности решения
0.87 Z1 0.27 Z2 0.22 Z3 0.18 Z4 1.21
Листинг 7.3. Решить систему нелинейных уравнений – способ 2
7x 5y sin(z) 9sin2(x) 3y 2z 2
2x 5cos(y) 4z 3
48
Решение системы нелинейных уравнений - способ 2
ORIGIN : 1
x : 1 y : 1 z : 1
Given
7 x 5 y sin(z) = 9
sin(x)2 3 y 2 z = 2
2 x 5cos(y) 4 z = 3
Z : Find(x,y,z)
1.009
Z0.222
0.974
Проверка правильности решения
7 Z1 5 Z2 sin Z3 9
Задание начальных значений
Начало блока решения
Задание
системы
уравнений
Решение
Вывод результатов решения
Варианты задач приведены в таблице 7.1.
Таблица 7.1. Варианты задач
№ вар. |
Система уравнений |
1 |
0,85x 0,05y 0,08z 0,14t 0,48 |
|
|
|
0,32x 1,43y 0,12z 0,11t 1,24 |
|
|
|
0,17x 0,06y 1,08z 0,12t 1,15 |
|
|
|
0,21x 0,16y 0,36z t 0,88 |
2 |
x 0,28y 0,17z 0,06t 0,21 |
|
|
|
0,52x y 0,12z 0,17t 1,17 |
|
|
|
0,17x 0,18y 0,79z 0,81 |
|
|
|
0,11x 0,22y 0,03z 0,95t 0,72 |
49
Окончание табл. 7.1
№ вар. |
Система уравнений |
3 |
2,5x 4y 7z 12,115 |
|
|
|
x 3y z 0,87 |
|
|
|
7x 2y 1,5z 35,93 |
4 |
x 7y 20z 91,65 |
|
|
|
4x 5y 2z 14,85 |
|
|
|
10x 2y 15z 87,2 |
5 |
2x 15y 8z 206,45 |
|
|
|
12x 7y 3z 39,06 |
|
|
|
7x 2y 12z 148,14 |
6 |
6,05x 0,13y 8,57z 19,6 |
|
|
|
15,46x 8y 13,94z 23,8 |
|
|
|
7,18x 12,6y 0,07z 0,04 |
7 |
x 2y 3z 5t 1 |
|
|
|
x 3y 13z 22t 1 |
|
|
|
3x 5y z 2t 5 |
|
|
|
2x 3y 4z 7t 4 |
8 |
x 3y cos(z) 2 |
|
|
|
x y sin(z) 1,5 |
|
|
|
2x sin(y) 4z 1 |
9 |
sin(x) 3y 2z 5 |
|
|
|
2x 5y z 17 |
|
|
|
x 2cos(y) z 12 |
10 |
6,05x 0,13y 8,57z 19,6 |
|
|
|
15,46x 8y 13,94z 23,8 |
|
|
|
7,18x 12,6y 0,07z 0,04 |
50