3. Рішення задачі чисельним методом

Для рішення системи рівнянь (2.1)–(2.5) застосовуємо метод кінцевих різниць. Введемо по товщині обмурівки рівномірно розташовані вузлові точки:

,

де , – крок по координаті x, N – загальне число вузлів по координаті x.

По висоті ділянки обмурівки вводимо рівномірно розташовані вузлові точки:

,

де , – крок по координаті z, M – загальне число вузлів по координаті z.

Аналогічно, введемо фіксовані вузлові точки за часом:

де ;  – крок по часу.

Загалом вони утворюють просторово-часову вузлову сітку.

Далі перейдемо від безперервної функції t(x,z,) до сіткової і апроксимуємо вихідну диференціальну задачу за допомогою явної різницевої схеми:

Для внутрішніх вузлів 1-го шару:

. (3.1)

Для внутрішніх вузлів 2-го шару:

. (3.2)

Для вузла 1 (зовнішня поверхня):

, (3.3)

. (3.4)

Для вузла N (внутрішня поверхня):

, (3.5)

, (3.6)

. (3.7)

Звідси отримуємо розрахункові формули для находження температур в вузлах сітки:

, (3.8)

, (3.9)

, (3.10)

, (3.11)

де , ‑ сіткові критерії Фур’є,

‑ сітковий критерій Біо.

Через те, що явна схема є умовно-стійкою, то для виключення можливості отримання нестійкого рішення повинна виконуватися умова

. (3.12)

Ця умова обмежує крок розрахунку за часом  для обраного значення кроку x.

Розрахунок за формулами (3.8) ‑ (3.11) виконується для k = 1,2,…, M до закінчення процесу нагріву.

Акумуляція тепла на 1 м² кожного шару обмурівки розраховується за формулами

, (3.13)

, (3.14)

де ‑ середні температури шарів 1 і 2.

4. Завдання для виконання роботи

За допомогою розглянутої вище математичної моделі дослідити теплову роботу двошарової обмурівки котла за наступних вихідних даних.

Висота ділянки, що розраховується H = 4 м.

Теплофізичні властивості матеріалу 1-го шару:

₁ = 0,6 Вт/(мК), ₁ = 1100 кг/м³, с₁ =1120 Дж/(кгК).

Теплофізичні властивості матеріалу 2-го шару:

₂ = 0,9 Вт/(мК), ₂ = 1900 кг/м³, с₂ =1050 Дж/(кгК).

Коефіцієнт випромінювання від газу до обмурівки С_g = 3 Вт/(м²К⁴).

Ступінь чорноти обмурівки  = 0,85.

Коефіцієнт тепловіддачі конвекцією  = 12 Вт/(м²К).

Температура навколишнього середовища t_c = 20^oC.

Початкова температура обмурівки t₀ = 20^oC.

Інші вихідні дані для варіантів наведені в табл. 4.1.

Для заданих значень вихідних даних необхідно виконати розрахунок процесу розігріву обмурівки протягом 48 годин. По результатами розрахунку побудувати залежність зміни температур в характерних точках обмурівки (на поверхнях і на границі шарів) від часу процесу для різних рівнів за висотою ділянки, що розраховується.

У зв'язку з необхідністю виконання великого об'єму обчислень рекомендується скласти алгоритм розрахунку і реалізувати його в середовищі Mathcad або Delphi.

Додаткові завдання.

1. За допомогою моделі дослідити вплив зміни товщини теплоізоляційного і вогнетривкого шарів на величину акумуляції тепла обмурівкою.

2. За допомогою моделі дослідити можливість заміни легковажного теплоізоляційного матеріалу на тепловолокнисті плити.

Таблиця 4.1 – Варіанти вихідних даних

№	S1, м	S2, м	tg1, С	tg2, С
1	0,115	0,230	1400	1000
2	0,115	0,230	1350	975
3	0,125	0,230	1300	950
4	0,125	0,250	1375	960
5	0,125	0,250	1340	920
6	0,175	0,350	1400	1000
7	0,175	0,350	1350	975
8	0,175	0,350	1300	950
9	0,185	0,375	1375	960
10	0,185	0,375	1340	920