цієнтів, що дозволяє зменшити обчислювальні затрати за рахунок тільки одного LU-розкладу матриці А. В методі зворотних ітерацій зі змінними зсувами на різних кроках необхідно розв’язувати цілком різні системи лінійних рівнянь.

В методі зворотних ітерацій зі зсувами часто невідомо, як підбирати початковий зсув s 0j , хіба що треба знайти власне значення, найближ-

че до заданого, і відповідний йому власний вектор.

Застосування змінних зсувів у методі зворотних ітерацій суттєво погіршує від кроку до кроку зумовленість матриць системи лінійних рівнянь, які прямують до вироджених. Однак у цьому випадку погана зумовленість лінійних систем є навіть корисною. Поясненням цього парадоксу є зосередження похибок заокруглення саме в напрямі шуканого власного вектора, що тільки прискорює домінування потрібної складової.

2. ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ

1.Додати в розроблений клас «Матриця» метод, що дозволяє привести довільну квадратну матрицю до верхньої форми Хессенберга.

2.Додати метод, що дозволяє виконати QR-розклад довільної квадратної матриці.

3.Додати метод, що реалізує QR-алгоритм пошуку власних значень матриці.

4.Додати метод, що дозволяє за допомогою QR-алгоритму знайти власні вектори матриці.

5.Додати метод, що реалізує LU-алгоритм пошуку власних значень матриці. Передбачити можливість перевірки на кожному кроці існування LU-розкладу.

6.Додати методи, що дозволяють знайти максимальне та мінімальне за модулем власні значення та відповідні власні вектори.

7.Додати метод, що реалізує зворотні ітерації зі зсувами для знаходження власних значень і векторів. В якості початкових значень зсувів можна обрати власні значення, обчислені, наприклад, за допомогою QRалгоритму.

8.Порівняти результати роботи різних чисельних методів.

47

3. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1.Які проблеми (задачі) при знаходженні власних значень і векторів існують?

2.На які класи поділяються чисельні методи знаходження власних значень і векторів? Наведіть приклади методів різних класів.

3.У чому полягає основна ідея всіх ітераційних методів знаходження власних значень і векторів довільної матриці?

4.Яку матрицю називають майже трикутною?

5.Якою буде майже трикутна форма для симетричної матриці?

6.У чому складається ідея LU-алгоритму пошуку власних значень матриці? Які він має обмеження при застосуванні?

7.Яка швидкість збіжності LU-алгоритму при пошуку власних значень матриці? Як її можна прискорити?

8.Що називають матрицею відбиття? Яка у неї геометрична інтерп-

ретація?

9.Де використовується перетворення Хаусхолдера?

10.Що називають матрицею елементарних поворотів Гівенса? Яка у неї геометрична інтерпретація?

11.Яким чином обирається кут повороту, що визначає матрицю Гі-

венса?

12.В чому полягає алгоритм приведення матриці до майже трикутного вигляду? Яку він має кількість арифметичних операцій?

13.У чому полягає алгоритм QR-розкладу матриці? Яку він має кількість арифметичних операцій?

14.Що передбачає компактна схема зберігання при реалізації QRрозкладу матриці на ЕОМ?

15.У чому складається ідея QR-алгоритму пошуку власних значень матриці?

16.Яка швидкість збіжності QR-алгоритму при пошуку власних значень матриці?

17.Яка кількість арифметичних операцій необхідна для одного кроку QR-алгоритму пошуку власних значень довільної несиметричної матриці? Як зміниться ця величина, якщо матриця попередньо приведена до верхньої трикутної форми Хессенберга?

18.Яка кількість арифметичних операцій необхідна для одного кроку QR-алгоритму пошуку власних значень симетричної матриці? Як змінить-

48

ся ця величина, якщо матриця попередньо приведена до верхньої трикутної форми Хессенберга?

19.Яким чином можна прискорити збіжність QR-алгоритму?

20.Який алгоритм має QR-ітерація зі зсувами?

21.В якихвипадках використовується неявна QR-ітерація з подвійними зсувами?

22.Що означає термін «квадратична збіжність алгоритму»? Наведіть приклади алгоритмів, які мають квадратичну збіжність.

23.Яким чином організовують обчислення в математичних пакетах, що використовують QR-алгоритм для пошуку власних значень?

24.Як за допомогою QR-алгоритму знайти не тільки власні значення матриці, а й належні їм власні вектори?

25.На яких ідеях ґрунтуються чисельні методи розв’язання часткової проблеми власних значень?

26.У чому полягає ідея степеневого методу? Що він дозволяє знайти та які має обмеження при застосуванні?

27.Яка кількість арифметичних операцій необхідна для одного кроку степеневого методу?

28.В чому полягає модифікація степеневого методу, яку називають PM-алгоритмом?

29.Яка швидкість збіжності степеневого методу?

30.Яким чином можна знайти найбільше (найменше) за модулем власне значення та відповідний власний вектор?

31.Як можна обчислити наближення до другої та інших власних пар за допомогою степеневого методу?

32.У чому полягає ідея методу зворотних ітерацій? Який він має ал-

горитм?

33.Коли в методі зворотних ітерацій використовуються зсуви? Як при цьому змінюється алгоритм методу та його швидкість збіжності?

34.У чому полягає ідея використання в зворотній ітерації змінних зсувів? Як змінюється швидкість збіжності та кількість арифметичних операцій порівняно з використанням постійних зсувів?

35.За допомогою якого чисельного методу можна уточнити знайдене власне значення та відшукати відповідний йому власний вектор з великою точністю?

49

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения / В.М. Вержбицкий. – М. : Высшая школа, 2000. – 266 с.

2. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры / В.В. Воеводин. – М. : Наука, 1977. – 304 с.

3.Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения / Дж. Деммель. – М. : Мир, 2001. – 430 с.

4.Икрамов Х.Д. Несимметричная проблема собственных значений. Численные методы / Х.Д. Икрамов. – М. : Наука, 1991. – 240 с.

5.Кутнів М.В. Чисельні методи : навч. посібник / М.В. Кутнів. – Львів : НУ «Львівська політехніка», 2008. – 200 с.

6.Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы / Б. Парлет. – М. : Мир, 1983. – 384 с.

7.Уилкинсон Дж. Х. Алгебраическая проблема собственных значений / Дж. Х. Уилкинсон. – М. : Наука, 1970. – 564 с.

8.Уоткинс Д.С. Основы матричных вычислений / Д.С. Уоткинс. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009. – 664 с.

9.Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры / Д.К. Фаддеев, В.Н. Фаддеева. – М.: Физматгиз, 1963. – 734 с.

10.Шахно С.М. Чисельні методи лінійної алгебри: навч. посібник / С.М. Шахно. – Львів : ВЦ ЛНУ ім. І. Франка, 2007. – 245 с.

50

51

Навчальне видання

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до лабораторної роботи «Ітераційні методи знаходження власних значень і

векторів» та курсового проектування з курсів «Чисельні методи», «Обчислювальні методи» для студентів напрямків

6.040303 «Системний аналіз», 6.040302 «Інформатика»

Відповідальний за випуск О.С. Куценко

Роботу до видання рекомендував М.І. Безменов

За авторською редакцією

План 2010 р., поз. 15/

Підписано до друку __________. Формат 60x84 1/16. Папір офсетний. Друк – ризографія. Гарнітура Таймс. Ум. друк. арк. 2,5.

Обл.-вид. арк. 2,7. Наклад 50 прим. Зам. №___ . Ціна договірна.

_______________________________________________________

Видавничий центр НТУ «ХПІ».

Свідоцтво про державну реєстрацію ДК № 3657 від 24.12.2009 р. 61002, Харків, вул. Фрунзе, 21

_______________________________________________________

Друкарня НТУ «ХПІ», 61002, Харків, вул. Фрунзе, 21 61002, Харків, вул. Фрунзе, 21

52