Отримана величина приблизно на 0,26 відрізняється від другого за модулем власного значення матриці, при цьому точне значення становить

2 2 .

1.8.4.Метод зворотних ітерацій

Степеневий метод дозволяє знайти найменше за модулем власне значення n та відповідний власний вектор знаковизначеної матриці А, коли

відоме найбільше за модулем власне значення 1 . Якщо проблема полягає в знаходженні лише найменшої власної пари матриці А, то можна, застосовуючи степеневий метод до матриці A 1 , обійтися без обчислення 1 .

Ця ідея ґрунтується на в ла сти во ст і в ла с ни х п а р о бо р о тно ї ма т - р и ц і :

A 1 .

Таким чином, найменшим за модулем власним числом матриці А є величина, обернена до найбільшого за модулем власного числа A 1 , яку можна отримати степеневим методом для довільного вектора y 0 за до-

38

За достатньо великої кількості ітерацій k послідовність співвідношень однойменних координат векторів y k і y k 1 повинна давати наближене

степеневому методі для запобігання переповнення та втрати значущих цифр на кожній ітерації вектор y k бажано нормувати.

Прямі ітерації за формулою (23) потребують попереднього обертання вихідної матриці А, що вимагає додаткових обчислювальних затрат. Тому

звичайно будують ту ж послідовність векторів y k , розв’язуючи для k 1, 2, лінійні системи

Ці системи мають одну й ту ж матрицю коефіцієнтів А, тому найскладнішу частину методу виключення Гаусса – LU-розклад матриці А

– можна виконати лише один раз.

Побудову послідовності векторів x k , які наближають власний вектор xn , за неявною формулою (24), називають з во р о т ни ми іт ер а ц і я -

ми , а процес розв’язання часткової проблеми власних значень на цій підс-

таві – мето до м з во р о т н и х іт ер а ц ій або о бер не н и м ст еп е н е ви м мето до м .

Ал го р и т м ме то ду зво р о тни х ітер а ц ій (I NVI T - а л го р и т м ,

In ve rs e it era tio n ) відрізняється від PM-алгоритму тільки кроком 2 і має наступний вигляд:

1.Обирають пробний початковий вектор x 0 розміру n, у якого максимальний за модулем елемент дорівнює одиниці, а інші дорівнюють нулю, і задають точність ε.

2.В циклі за номером ітерацій k 1,2,3.... розв’язати систему ліній-

них рівнянь

Ay k x k 1 .

3. Серед компонентів вектора y k знаходять максимальний за модулем, тобто обчислюють

m k y k .

39

4. Формують вектор

ітерації для пошуку мінімального за модулем власного значення та відповідного йому власного вектора з точністю 0,01 .

Р о з в ' я з а н н я . Спочатку виконаємо LU-розклад матриці А та обчислимо матрицю перетворення М, що переводить вихідну матрицю до верхньої трикутної форми. В результаті отримаємо:

Матриця перетворення визначається на основі елементів матриці L

40

Оберемо початковий вектор x 0 1, 0, 0 T і початкове наближення

41

Перевіримо виконання умови збіжності

тобто умова досягнення збіжності не виконується, тому ітераційний процес необхідно продовжити.

Остання дванадцята ітерація дасть такі результати:

42