1.3.Приведення матриці до майже трикутного вигляду

Приведення матриці А до вигляду (1) будемо здійснювати за допомогою ортогональних перетворень Т, які, як відомо, зберігають довжину векторів, тобто

Tx 2 x 2 або Tx,Tx x, x .

При цьому матриця ортогонального перетворення Т має властивість

T 1 T T . Крім того, добуток ортогональних матриць є ортогональною матрицею.

Як матриці Т будемо розглядати ма тр и ц і в ідби т тя . Матриця відбиття Т, породжена вектором d d1, , dn , визначається формулою:

де d 2 1 .

Вираз, отриманий за формулою (7), називають п ер етво р ен ня м Ха усхо лд ер а .

Гео метр и чно матриця T задає відбиття вектора x щодо площини з одиничним нормальним вектором d (див. рис. 1.1).

Матриця Т буде симетричною й ортогональною: Td d . Якщо вектор x ортогональний вектору d, тоді Tx x .

Побудуємо елементарне відбиття Т, що переводить заданий вектор a a1 , a2 , , an T у вектор, колінеарний вектору e1 1,0, ,0 T . Таких відбиттів буде два, що відповідають знакам «+» та «–» (див. рис. 1.2):

Ta a 2 e1 .

11

x

d

Tx

Рис. 1.1. Геометрична інтерпретація перетворення відбиття

a

Рис. 1.2. Геометрична інтерпретація знаків елементарних відбиттів

Вектор d, що породжує шукане перетворення, задається формулами

Поєднуючи (7), (8) і (9), отримаємо шукане відбиття Т.

Для однозначного приведення дійсної матриці А до вигляду (1) звичайно використовують додаткову вимогу, що складається в тому, щоб значення піддіагоналі в (1) були одного знака, наприклад,

12

Ця умова виділяє певний знак в (8) та єдине елементарне відбиття.

Ал го р и т м п р и в еде н ня ма тр и ц і до ма й ж е тр и кут но ї фо -

р ми наступний.

1 кр о к . Визначимо матрицю n-го порядку:

вигляд:

13

Продовжуючи цей процес, після n 2 кроків одержимо

A* Sn 2 S2S1AS1S2 Sn 2 ,

де A* – матриця вигляду (1), для якої виконуються нерівності (10).

Якщо на будь-якому кроці k отримано нульовий вектор, для якого будується відбиття, то вважають, що Sk E . Остаточно, ортогональне перетворення Т матриці А до майже трикутного вигляду визначається добутком ортогональних матриць Sk :

T Sn 2 S2S1 .

Якщо матриця А симетрична, то проміжні матриці й кінцева матриця будуть також симетричними, отже, майже трикутна форма таких матриць є тридіагональною формою (2).

Приведення довільної матриці до майже трикутної форми (1) вимагає

A* , яка подібна до матриці А та має форму Хессенберга.

14

Знайдемо константу c вектора d, що породжує шукане відбиття при n 2 :

15