2 Тригонометриялық теңдеулер мен теңдеулер жүйесін оқытудың әдістемесі

2.1 Тригонометриялық теңдеулер мен теңдеулер жүйесі

Тригонометриялық теңдеу – белгісіз аргументтің функциясына қатысты алгебралық теңдеу. Тригонометрияық теңдеуді шешу үшін тригонометриялық функциялардың арасындағы әртүрлі қатынастарды пайдалана отырып, тригонометриялық теңңдеулерді ізделініп отырған аргументтің тригонометриялық функциялары біреуінің мәнін аныұтауға болатындай түрге келтіру керек. Осыдан кейін тригонометриялық теңдеудің түбірлері кері тригонометриялық теңдеудің түбірлері кері тригонометриялық функциялардың көмегі арқылы табылады.

Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді қарастырайық:

1.sinх =а

-π/2 ≤ аrcsin ≤ π/2, к єΖ

2. cosх =а

0 ≤arccosa < π, к Z.

3. tgx = a х = arctga+ πк,

аrctgа (- π/2 ; π/2), к Z, а R

4. ctgх =а х = arcctgа +πк,

arcctgа (0; π), к Z, а R

Тригонометриялық теңдеулерді шешудің негізгі екі әдісі бар:

1) көбейткіштерге жіктеу әдісі;

2) жаңа айнымалыны енгізу әдісі.

1-мысал. Теңдеуді шешу

5 sin² х + 3sinх cosх – 3 cos²х = 2

Шешуі: 5 sin²х+3sinх cosх – 3cos²х = 2 ( sin²х+cos²х),

3 sin²х+3sinхcosх – 5cos²х = 0 3sin²х/cos²х + 3sinхcosх/ cos² х –

cos²х/cos²х = 0 3 tg²х +3tgх -5 = 0.

u = tgх, 3u²+3u-5 =0 х = аrctg (-3 )/6 +πк

Жауабы:.....

2-мысал. Теңдеуді шешу

sin⁴х+cos⁴у +2 =4 sinхcosу

Шешуі: u²+ v⁴ +2 = 4uv →( u⁴+1)+(v ⁴+1) -4uv = 0,

υ=sin у;

( u⁴-2u²+1)+( v⁴-2v²+1) + 2u²+2v² –4uv = 0,

( u²-1)² + ( v²-1)² + 2( u-v)² = 0 ; ; ; ; ; ; ; ;

Қ арапайым тригонометриялық теңдеулер шешімдерінің жалпы түрі

Қарапайым тригонометриялық теңдеулер шешімдерінің дербес түрі

Тригонометрия (грек сөзі) – үшбұрыштарды өлшеу деген сөз. Бұл ғылымның алғашқы көздеген мақсаты үшбұрыштардың белгілі элементтері (бұрыштары мен қабырғалары) бойынша олардың белгісіз басқа элементтерін есептеп шығарудың әдістерін табу болды (үшбұрыштарды шеші). Бұл мақсат қазірде де тригонометрияның негізгі мақсаттарының бірі болып қалады.

Тригонометриялық теңдеуді шешу деген сөз оны қанағаттандыратын, яғни екі бөлігін өзара теңдестіретін бұрыштарды анықтау деген сөз. Теңдеуді шешу үшін алдымен белгісіз бір бұрыштың функциясын анықтап, одан кейін сол функция бойынша аргументті табамыз.

Ерте замандағы тригонометриялық теңдеулерді жалпы түрде шешудің әр түрлі әдістері:

1. Жіктеу арқылы шешілетін тригонометриялық теңдеулер;

2. Бір текті тригонометриялық теңдеулер;

3. Қосу формулаларын пайдаланып шешілетін теңдеулер;

4. Тригонометриялық функциялардың қосындысын көбейтіндіге түрлендіруді пайдаланып шешілетін теңдеулер;

5. Екі тригонометриялық функцияның көбейтіндісін қосындыға түрлендіруді пайдаланып шешілетін теңдеулер;

6. Дәрежесін төмендету арқылы шешілетін теңдеулер;

7. Алгебралық бөлшекті тригонометриялық теңдеулер;

8. \Теңбе-тең түрлендірулер арқылы қарапайым түрге келтіретін тригонометриялық теңдеулер.

Жоғары дәрежелі тригонометриялық теңдеулерді шешу.

1 – есеп.

Шешімі:

мына түрде жазамыз

[( )² . Мұнда болғандықтан, мына теңдеу төмендегі теңдеуге тең болады.

1 . (1)

және формулаларын қолдана отырып (1) теңдеуді келесі түрде жазамыз

. (2)

биквадрат теңдеуінің түбірлері және болғандықтан, онда (2) теңдеу мына теңдеу жиынтығына тең келеді

және .

теңдеуінің шешімі жоқ. Себебі, | | ≤ 1. Косинустың жарты бұрышының формуласын қолдана отырып,

теңдеуі түрде жазуға болады.

. Осыдан, немесе

.

Жауабы: .

2– есеп.

Шешімі:

болғандақтан,онда немесе

Д

және

Жауабы:

3-есеп.

Шешімі:

пен ті былай жазамыз:

( (

( (

(

(

шешімі

n Z жоқ. Себебі |

n Z

n Z

Жауабы: n Z

4– есеп.

Шешімі:

( ) ( )

=( ) [( ) ² .

1

болғандықтан

1

-

-

-

.

Жауабы: . .

5-есеп.

Шешімі:

формулаларын қолданамыз.

5

шешімі жоқ. Себебі |

n Z

n Z

n Z

Жауабы: n Z

6 – есеп.

Шешімі:

формуласын қолдана отырып,

ті былай түрлендіреміз:

n Z

n Z Д -

n Z

дің шешімі жоқ. Себебі, |

Жауабы: n Z .