1.2 Теңдеулер мен теңдеулер жүйесін шешу әдістері

Теңдеулер мен теңдеулер жүйесін шығару дегеніміз – берілген бастапқы жүйені түрлендірулер қолдану арқылы оңай жолмен шешілетін теңдеулер жүйесіне келтіру болып табылады.

Теңдеулер жүйесінің алгебралық қосу, алмастыру және айнымалы енгізу тәсілдерімен шығарылатыны мектеп курсында келтірілген. Осы тәсілдерге жеке-жеке тоқталайық.

Алгебралық қосу тәсілі. Жүйенің құрамына кіретін кейбір теңдеулер таңдап алынған көбейткіштерге көбейтіліп, мүшелеп қосылады. Мұндай түрлендіру жүйенің теңдеулеріне байланысты бірнеше рет қайталануы мүмкін. Көбейткіштер шығару тәсілі белгілі теңдеулер жүйесі шығатын етіп таңдалады.

1-мысал.

теңдеулер жүйесін шығарайық.

Шешуі: Бірінші – жүйенің екінші теңдеуін 3санына көбейтіп, шыққан теңдеуді жүйенің үшінші теңдеуімен бірге қарастырамыз. Сонда

Екінші – осы екі теңдеуді мүшелеп қосып және екі жақ бөлігін 5-ке мүшелеп бөліп, (1) теңдеуін аламыз.

Үшінші – берілген жүйенің бірінші және екінші теңдеулерін қосып, теңдеуін аламыз.

Төртінші – енді (1) және (2) теңдеулерін бірге қарастырамыз:

Бесінші – соңғы жүйенің бірінші теңдеуін -3-ке көбейтіп және оны екінші теңдеумен қоссақ, шығады.

Алтыншы – x-тің мәнін (1) теңдеуіне қойып, болатындығын аламыз.

Жетінші – енді мәндерін берілген теңдеулер жүйесінің кез келген теңдеуіне қойсақ, шығады.

Сегізінші – сонымен, теңдеулер жүйесіндегі әр теңдеуді қанағаттандыратын айнымалының мәндерін

анықтадық. Тексеру жүргізсек, оның дұрыс екендігіне көз жеткізетін боламыз.

Жауабы:(-3; 2; -1).

Алмастыру тәсілі.

Теңдеулер жүйесін алмастыру тәсілімен шығару алгоритмін былайша жазуға болады:

1. жүйенің бір теңдеуін қандай да бір айнымалыға қатысты шешу, яғни ол айнымалыны қалған айнымалылар арқылы өрнектеу;

2. айнымалының анықталған өрнегін жүйенің қалған теңдеулеріне қою арқылы айнымалыны жою, сондай-ақ алмастырғаннан кейін теңдеулер және айнымалылар саны бірге кеміген жаңа теңдеулер жүйесін алу;

3. жаңа теңдеулер жүйесін қалған айнымалылар арқылы шешу;

4. соңғы теңдеулер жүйесінің табылған әрбір шешімі үшін жойылған айнымалының мәнін табу керек болады.

2-мысал.

теңдеуін түсініп саналы шешу және осындай типтес теңдеулерді шешуді сенімді меңгеру үшін оқушы алдыңғы өткен тақырыптар бойынша мына түсініктер және ұғымдарды білуі, түсінуі керек болады:

• логарифдік функция анықтамасын және қасиетін;

• тригонометриялық негізгі формулаларды және түрлендіру формулаларын;

• стандартты тригонометриялық теңдеу шешімін табуды;

• тригонометриялық функциялардың бұрыштары бойынша нақты мәндерін анықтауды;

• т.с.с.

Осы мәселелерді түсінетін (ұмытып қалған жерлерін дұрыстап қайталаған) оқушы бұл есепті шығара бастайды.

Шешуі: Бірінші – логарифдік функцияның анықтамасына және қасиеттеріне сүйене отырып, берілген теңдеу келесі жүйемен мәндес екендігін жазады:

Екінші – тригонометриядан

негізгі формуласын пайдалана отырып, мынадай жүйеге келеді:

,

Үшінші – бұл жүйені a² – b² = (a+b)(a–b) формуласын қолдана отырып, келесі түрде жазуға болатындығын аламыз:

,

Төртінші – осы жүйедегі теңсіздікті ескере отырып, келесі мәндес теңдеуге келеміз

sinx= .

Бесінші – бұл теңдеудің шешімдері

түрінде болатындығын аламыз.

Сонымен, бастапқы берілген теңдеудің шешімдері де тек осы түрде болады.

Жауабы:

Осы жоғарыдағы келтірілген қарапайым мысалдардан теңдеу және теңсіздік ұғымдарының математикадағы алатын орны және рөліне байланысты мына жағдайларды байқаймыз:

-теңдеу немесе теңсіздікке қатысты есептерді саналы түсініп шығару оқушының білімін және біліктілігін сенімді толықтыруға, тереңдетуге және дамытуға толық мүмкіндік бере алатындығын;

- пән мұғалімі осы мүмкіндіктерді әдістемелік тұрғыда тиімді пайдалана білсе,оқушының математикалық білім сапасын жақсартуда жәнежалпы математиканы оқытуда оң жақсы нәтижелерге жетуге болатындығын:

-теңдеу немесе теңсіздікке қатысты есептерді саналы түсініп шығару математиканың басқа пәндермен және ғылымдармен, өмірмен байланысын оқушылардың жете түсінуіне мүмкіндік беретіндігін.

Сонымен, мектептік теңдеу тақырыбынан кейбір бастапқы ұғымдарды және түсініктерді келтіре кетейік.

Анықтама.Теңдеуді дұрыс теңдікке айналдыратын айнымалының мәнін теңдеудің түбірі деп атайды. Мысалы, теңдеуінің бір ғана түбірі бар. Ол – 10 саны. Екі, үш және одан да көп түбірлері бар болатын немесе түбірлері жоқ болатын теңдеулерге де мысалдар келтірейік.

Мысалы, теңдеуінің үш түбірі бар, олар: 4, 5 және 6. Шынында, осы сандардың әрқайсысы келтірілген көбейтіндідегі көбейткіштердің бірін, демек, көбейтіндінің өзін де нөлге айналдырады. – тің кез келген басқа мәндерінде көбейткіштердің бір де біреуі нөлге айналмайды, олай болса, көбейтінді де нөлге айналмайды. Мысал, теңдеуінің түбірлері жоқ, өйткені – тің кез келген мәнінде теңдеудің сол бөлігі оң бөлігінен 2-ге артық болады.

Теңдеуді шешу дегеніміз – оның барлық түбірлерін табу немесе түбірлерінің жоқ екенін дәлелдеп көрсету. Мысалы, теңдеуінің екі түбірі бар: 2 және -2 сандары.

теңдеуінің түбірлері де 2 және -2 сандары. түбірлері бірдей болатын теңдеулер пара-пар теңдеулер деп аталады, түбірлері жоқ болатын теңдеулер де пара-пар теңдеулер болып саналады.

Теңдеулерді шешкенде мына қасиеттер ескеріледі:

1) егер теңдеудегі қосылғыштың таңбасын өзгертіп, бір бөлігінен екінші бөлігіне көшірсе, онда берілген теңдеумен пара – пар теңдеу шығады;

2) егер теңдеудің екі бөлігін де нөлге тең емес бір ғана санға көбейтсе немесе бөлсе, онда берілген теңдеумен пара – пар теңдеу шығады.

Мысалы, және теңдеулері пара-пар, сондай-ақ, және теңдеулері де пара-пар болады.

Теңдеулердің бұл айтылған қасиеттерін дұрыс сандық теңдіктің қасиеттеріне сүйеніп дәлелдеуге болады: егер дұрыс теңдіктің екі бөлігіне де бірдей санды қосса немесе дұрыс теңдіктің екі бөлігін де нөлге тең емес бір санға көбейтсе немесе бөлсе, онда дұрыс теңдік шығады.

Бір айнымалысы бар сызықтық теңдеу

теңдеулерінің әрқайсысы түрінде жазылған, мұндағы мен – сандар. Бірінші теңдеуде екіншіде үшіншіде . Мұндай теңдеулерді бір айнымалысы бар сызықтық теңдеулер деп атайды.

Анықтама. түріндегі теңдеуді, мұндағы – айнымалы, a мен b – қандай да бір сандар, бір айнымалысы бар сызықтық теңдеу деп атайды.

Сызықтық теңдеудің неше түбірі бар болатынын анықтайық. теңдеуін қарастырайық, мұның a коэффициенті нөлге тең емес. теңдеудің екі бөлігін де a - ға бөліп, теңдігін аламыз. Демек,

1. сызықтық теңдеуінің болғанда бір ғана түбірі бар

болады.

2. а коэффициенті нөлге тең болғанда, ax=b теңдеуін қарастырайық. Егер a = 0 және болса, онда теңдеуінің түбірлері жоқ, өйткені теңдігі x - тің ешбір мәнінде дұрыс теңдік болмайды.

3. Егер a=0 және болса, онда x- тің кез келген мәні теңдеудің

түбірі болады, өйткені, теңдігі кез келген x үшін дұрыс болады.

Сонымен, сызықтық теңдеуінің болғанда бір ғана түбірі бар болады, және болғанда түбірі жоқ, ал және болғанда ақырсыз көп түбірі бар болады (кез келген сан оның түбірі болады).

Көптеген теңдеулерді шешуең соңында сызықтық теңдеулерді шешуге келтіріледі. Сондықтан оқушылардың сызықты теңдеуі шешімінің әртүрлі жағдайларын (1), 2), 3)) саналы түсінулеріне баса назар аудару қажет болады.