Поверхностные явления в жидкостях. Коэффициент поверхностного натяжения. Краевой угол. Давление под искривленной поверхностью жидкости. Формула Лапласа. Капиллярные явления.

Поверхностное натяжение. Капиллярные явления.

Для начала вспомним все, что мы знаем о поверхностном натяжении. Это явление наблюдается на поверхностях жидкостей и связано с тем, что молекулы на поверхности слабо взаимодействуют с паром жидкости, в то время как молекулы внутри объема испытывают равные силы притяжения со стороны всех своих соседей. Таким образом, эти силы компенсируют друг друга, и их равнодействующая равна нулю. Молекула же, находящаяся на поверхности, испытывает меньшее притяжение со стороны молекул пара и большее – снизу, со стороны объема жидкости. В итоге равнодействующая не равна нулю и направлена вниз.

Поверхностной энергией называется избыточная потенциальная энергия, которой обладают молекулы в поверхностном слое по сравнению с их потенциальной энергией внутри остального объема жидкости.

Чтобы сократить свою потенциальную энергию (всякая система стремится к минимальной потенциальной энергии) жидкость стремится сократить количество молекул на поверхности – то есть сократить свою поверхность насколько возможно, сжаться.

Коэффициент поверхностного натяжения численно равен силе, действующей на единицу длины периметра смачивания и направленной перпендикулярно этому периметру:   (Н/м).

Также коэффициент поверхностного натяжения может быть определен через работу, которую надо совершить, чтобы увеличить поверхность жидкости:  (Н/м).

Эта работа идет на увеличение свободной поверхности жидкости, и коэффициент поверхностного натяжения жидкости численно равен потенциальной энергии единицы поверхности пленки жидкости:   (Н/м).

Смачиванием называется явление искривления свободной поверхности жидкости у поверхности твердого тела вследствие взаимодействия молекул. Чтобы как-то количественно определить смачивание, вводится краевой угол. Это угол, образованный касательными к поверхностям твердого тела и жидкости в месте их контакта. Жидкость при этом должна оказаться внутри угла. Если краевой угол острый – то жидкость называется смачивающей твердое тело, а если тупой – то несмачивающей. Если краевой угол равен нулю, то смачивание идеальное, угол, равный  , соответствует идеальному несмачиванию.

Различие углов связано с межмолекулярным взаимодействием молекул жидкости и твердого тела: если силы притяжения между молекулами жидкости и твердого тела больше, чем между молекулами жидкости друг к другу, то жидкость будет смачивающей. Если молекулы жидкости притягиваются друг к другу сильнее, чем притягиваются молекулы жидкости к молекулам твердого тела – то жидкость будет несмачивающей.

Краевой угол

Из-за смачивания и несмачивания поверхность жидкости искривляется вблизи стенок сосуда, в котором находится жидкость. Если сам сосуд мал (его стенки близко друг к другу), то искривляется вся поверхность жидкости, принимая выпуклую (несмачивание)  или вогнутую (смачивание) форму.

Смачивающая и несмачивающая жидкости

Такие поверхности называются менисками, а узкие трубки – капиллярами. То, что поверхность искривляется, приводит к изменению давления, причем давление больше с вогнутой стороны мениска (той, где находится центр кривизны). Именно этим и объясняется подъем столбика смачивающей жидкости в капилляре и опускание столбика несмачивающей жидкости:

Величину этого избыточного давления можно определить по формуле Лапласа:

, где    и    – радиусы двух взаимно перпендикулярных  дуг, проведенных в данной точке поверхности.

Для сферической капли   и  

Для капилляров  , где R – радиус капилляра,   – радиус кривизны мениска.

Для некоторых задач может пригодиться формула Юнга, которая определяет соотношение для коэффициентов поверхностного натяжения для поверхностей раздела фаз (lg – жидкость-газ, tl – твердое тело-жидкость, tg – твердое тело-газ):  .

Попробуем решить пару задач?

1. Одно колено U – образной трубки имеет радиус r₁ = 0,5 мм, а другое — r₂ = 1 мм. Найти разность уровней воды в коленах. Коэффициент поверхностного натяжения воды σ = 0,073 Н/м. Смачивание полное.

Сила поверхностного натяжения должна уравновешивать вес столба жидкости в капилляре. Тогда вес жидкости  , а сила поверхностного натяжения равна произведению периметра линии контакта (в нашем случае – окружность) на коэффициент поверхностного натяжения:  . Здесь отсутствует косинус краевого угла, так как смачивание полное и угол этот равен нулю, а косинус нуля – 1. Получаем:

, выражаем высоту столба:  . Вычисленная по этой формуле высота столба в капилляре радиусом 0,5 мм – 0, 0292 м, или 29,2 мм, а в капилляре 1 мм высота столба 0,0146 м, или 14,6 мм. Разница между высотой первого и второго составляет 14,6 мм.

Ответ: 14,6.

2. Трубка с внутренним диаметром d = 1 мм опущена в ртуть на глубину h = 5 мм. Найти краевой угол θ. Плотность и коэффициент поверхностного натяжения ртути равны: ρ_рт = 13,6 г/см³ и σ_рт = 0,47 Н/м.

Воспользуемся формулой из предыдущей задачи, единственное, что в ней изменим – добавим косинус краевого угла, так как смачивание здесь не полное. Вес ртути:  ,а сила поверхностного натяжения равна произведению периметра линии контакта (окружность) на коэффициент поверхностного натяжения:  . Отсюда:

, а косинус краевого угла  ,  , не забудем, что в формуле радиус, а нам дан диаметр.

.

Ответ:  .

3.  Восемь шаровых капель ртути диаметром d = 1 мм каждая сливаются в одну каплю. Сколько при этом выделится тепла?

Найдем объем одной маленькой капли:   куб. метров

Найдем площадь поверхности маленькой капли:    кв. метров

У восьми капель площадь поверхности   кв. метров

Теперь определим объем большой капли, он в восемь раз больше:   куб. метров

Радиус большой капли:  

Тогда радиус большой капли:    м

А ее поверхность:    кв. метров.

Таким образом, площадь изменилась на   кв. метров.

Чтобы изменить площадь поверхности жидкости (увеличить), надо произвести работу. Когда же площадь уменьшается, то выделяется энергия:   Дж.

Ответ:   Дж.

4. Найти радиус нижнего мениска в трубке с внутренним диаметром d = 0,59 мм, если высота h столбика воды в нём равна: а) 2,5 см; б) 5 см; в) 10 см. Смачивание полное.

Рассмотрим рисунок. Верхний мениск всегда будет вогнутым, давление, как мы знаем, в этом случае направлено вверх. Так как смачивание полное, то косинус краевого угла равен 1, а сам угол – нулю:

Давление столба жидкости направлено вниз и равно:  .

В первом случае:  .

Во втором случае:  .

В третьем случае:  .

Таким образом, в первом случае, когда  , суммарное давление направлено вниз, и давление нижнего мениска, компенсируя его, должно быть направлено вверх, то есть он будет вогнутым. Во втором случае оба давления приблизительно равны:  , так что нижний мениск будет плоским. В третьем случае  , и суммарное давление направлено вниз, тогда мениск, компенсируя эту разницу, будет выпуклым.

Найдем разницу давлений в первом и третьем случаях (во втором она близка к нулю):

.

.

Определим теперь радиусы менисков:   ,  

В первом случае радиус  , или 5,9 мм, вогнутый.

В третьем случае радиус  , или 2,9 мм, выпуклый.

Давление под искривленной поверхностью жидкости

Если поверхность жидкости не плоская, а искривленная, то она оказывает на жидкость избыточное (добавочное) давление. Это давление, обусловленное силами поверхностного натяжения, для выпуклой поверхности положительно, а для вогнутой поверхности — отрицательно.

Для расчета избыточного давления предположим, что свободная поверхность жидкости имеет форму сферы радиуса R, от которой мысленно отсечен шаровой сегмент, опирающийся на окружность радиуса r=Rsin (рис. 100). На каждый бесконечно малый элемент длины l этого контура действует сила поверхностного натяжения F=l, касательная к поверхности сферы. Разложив F на два компонента (F₁ и F₂), видим, что геометрическая сумма сил F₂ равна нулю, так как эти силы на противоположных сторонах контура направлены в обратные стороны и взаимно уравновешиваются. Поэтому равнодействующая сил поверхностного натяжения, действующих на вырезанный сегмент, направлена перпендикулярно плоскости сечения внутрь жидко-

115

сти и равна алгебраической сумме составляющих F₁:

Разделив эту силу на площадь основания сегмента r², вычислим избыточное (добавочное) давление на жидкость, создаваемое силами поверхностного натяжения и обусловленное кривизной поверхности:

Если поверхность жидкости вогнутая, то можно доказать, что результирующая сила поверхностного натяжения направлена из жидкости и равна

Следовательно, давление внутри жидкости под вогнутой поверхностью меньше, чем в газе, на величину р.

Формулы (68.1) и (68.2) являются частным случаем формулы Лапласа, определяющей избыточное давление для произвольной поверхности жидкости двоякой кривизны:

где R₁ и R₂ — радиусы кривизны двух любых взаимно перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости в данной точке. Радиус кривизны положителен, если центр кривизны соответствующего сечения находится внутри жидкости, и отрицателен, если центр кривизны находится вне жидкости.

Для сферической искривленной поверхности (R₁=R₂=R) выражение (68.3) переходит в (68.1), для цилиндрической (R₁=R и R₂=) — избыточное давление

р=(1/R+1/)=/R.

Для плоской поверхности (R₁=R₂=) силы поверхностного натяжения избыточного давления не создают.

§ 69. Капиллярные явления

Если поместить узкую трубку (капилляр) одним концом в жидкость, налитую в широкий сосуд, то вследствие смачивания или несмачивания жидкостью стенок капилляра кривизна поверхности жидкости в капилляре становится значительной. Если жидкость смачивает материал трубки, то внутри ее поверхность жидкости — мениск— имеет вогнутую форму, если не смачивает — выпуклую (рис. 101).

Под вогнутой поверхностью жидкости появится отрицательное избыточное давление, определяемое по формуле (68.2). Наличие этого давления приводит к тому, что жидкость в капилляре поднимается, так как под плоской поверхностью жидкости в широком сосуде избыточного давления нет. Если же жидкость не смачивает стенки капилляра, то положительное избыточное давление приведет к опусканию жидкости в капилляре. Явление изменения высоты уровня жидкости в капиллярах называетсякапиллярностью. Жидкость в капилляре поднимается или опускается на такую высоту h, при которой давление столба жидкости (гидростатическое давление) ghуравновешивается избыточным давлением р, т. е.

2/R=gh,

где  — плотность жидкости, g — ускорение свободного падения.

Если m — радиус капилляра,  — краевой угол, то из рис. 101 следует, что (2cos)/r=gh, откуда

h=(2cos)/(gr). (69.1)

В соответствии с тем, что смачивающая жидкость по капилляру поднимается, а несмачивающая — опускается, из фор-

116

мулы (69.1) при </2 (cos>0) получим положительные значения Л, а при 0>/2 (cos<0) —отрицательные. Из выражения (69.1) видно также, что высота поднятия (опускания) жидкости в капилляре обратно пропорциональна его радиусу. В тонких капиллярах жидкость поднимается достаточно высоко. Так, при полном смачивании (6 = 0) вода (=1000 кг/м³, =0,073 Н/м) в капилляре диаметром 10 мкм поднимается на высоту h3 м.

Капиллярные явления играют большую роль в природе и технике. Например, влагообмен в почве и в растениях осуществляется за счет поднятия воды по тончайшим капиллярам. На капиллярности основано действие фитилей, впитывание влаги бетоном и т. д.