Раздел 1. Теория пределов Тема 1.1. Понятие предела числовой последовательности

Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число a_n, то говорят, что задана числовая последовательность {a_n}:

a₁, a₂, …, a_n, … .

Другими словами, числовая последовательность – это функция натурального аргумента: a_n=f(n).

Числа a₁, a₂, …, a_n называются членами последовательности, а число a_n – общим членом или n-м членом данной последовательности

Пример числовой последовательности: 2,4,6,8……2n .

Бесконечная числовая последовательность – числовая функция, определенная на множестве N натуральных чисел.

Последовательность {a_n} называется убывающей (возрастающей), если каждый ее член, начиная со второго больше (меньше предыдущего), т.е. a_n+1 >a_n (a_n+1 <a_n ).

Последовательность ограничена сверху, если  М: a_n  М

Последовательность ограничена сверху, если  m: a_nm

Последовательность ограничена  М, m: m  a_n  М,

M, m – верхняя и нижняя границы последовательности.

Определение. Число A называется пределом числовой последовательности а_n, если для сколь угодно малого положительного числа ε>0 найдется такой номер N (зависящий от ε, N= N(ε)), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство:

Предел числовой последовательности обозначается или а_n→A при n→∞. Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Определение предела запишем на математическом языке, используя квантор общности (Ɐ) и квантор существования ( )

Тема 1.2. Понятие предела функции на бесконечности и в точке

Предел функции на бесконечности

Определение. Число A называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к бесконечности, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε>0 найдется такое положительное число >0 (зависящее от ε, =(ε)), что для всех x, таких что , верно неравенство

Предел функции обозначается или f(x)→A при x→∞.

Геометрический смысл предела функции на бесконечности.

Неравенство равносильно двойному неравенству , соответствующему расположению части графика в полосе шириной 2ε (см. рис. 1).

Рисунок 1 – Геометрический смысл предела функции на бесконечности

Предел функции в точке

Пусть функция у=f(x) определена в некоторой части окрестности точки х₀, за исключением, быть может самой точки х₀.

Определение. Число A называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к х₀, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε>0 найдется такое положительное число >0 (зависящее от ε, = (ε)), что для всех x не равных х₀ и удовлетворяющих условию выполняется неравенство

Предел функции обозначается или f(x)→A при x→x_0.

Геометрический смысл предела функции в точке

Н еравенство равносильно двойному неравенству , соответствующему расположению части графика в полосе шириной 2ε (см. рис. 2). Аналогично неравенство равносильно двойному неравенству соответствующему попаданию точек х в δ-окрестность точки х₀.

Рисунок 2 – Геометрический смысл предела функции в точке