9.2 Плотность состояний 2d электронного газа

Получим выражения для плотности состояний и плотности инверсного заряда 2D электронного газа в плоскости (у,о,z).

Согласно квантовой механике объем одного разрешенного состояния в двухмерном фазовом пространстве координат-квазиимпульсов составляет , где и − компоненты квазиимпульса электрона и h – постоянная Планка. Если – число состояний в единичном интервале энергий (плотность состояний), то − число состояний электрона с энергией между на единицу площади, тогда

, (9.2.1) где − площадь в пространстве импульсов, внутри которой лежит энергия электронов между , g – фактор вырождения подзоны и коэффициент 2 возникает из-за двух возможных направлений спина электрона.

Если − энергия основного состояния определенной подзоны, закон дисперсии вблизи дна этой подзоны имеет вид

, (9.2.2)

где − кинетическая энергия электрона, и − эффективные массы. Площадь эллипса, определяемая (9.2.2) в пространстве квазиимпульсов, равна . Следовательно, площадь , внутри которой энергия электрона находится между , равна , и (9.2.1) записывается в виде

.

Таким образом, плотность состояний двумерного электронного газа не зависит от энергии:

. (9.2.3)

Число электронов на единицу площади в этой подзоне равно

, (9.2.4)

где − функция распределения Ферми-Дирака. Так как − константа и может быть вынесена из-под знака интеграла, выражение (9.2.4) может быть легко проинтегрировано, что дает

. (9.2.5)

Рис. 9.5 .[1]

9.3 Плотность квантовомеханического инверсного заряда

Рис. 9.5 показывает энергетическую диаграмму квантованного инверсного слоя на поверхности кремния, где дно зоны проводимости с энергией ниже, чем дно зоны проводимости в объеме на величину (изгиб зоны) вследствие приложенного поля затвора. Для j-той подзоны минимальная энергия, отсчитываемая от , равна

. (9.3.1) (9.3.1)

Суммируя по всем подзонам в обеих долинах и используя (9.2.5), получаем полную плотность инверсного заряда на единицу площади:

. (9.3.2)

Заметим, что для первой группы подзон в выражении (9.3.2) ограничение по направлению х действует в продольном направлении, и эффективная масса плотности состояний есть или . Для второй подгруппы подзон в выражении (9.3.2) ограничение по направлению х перпендикулярно к продольному направлению, и эффективная масса плотности состояний есть . В подпороговой области уровень Ферми по меньшей мере на несколько ниже самой низкой энергии подзоны , и коэффициент может быть аппроксимирован в обоих членах выражения (9.3.2). Поскольку и есть равновесная концентрация электронов в объеме кремния, выражение (9.3.2) упрощается

, (9.3.3)

где подставлены и .

4. Сдвиг порогового напряжения вследствие квантового эффекта

При комнатной температуре и величины самого низкого энергетического уровня и расстояния между подзонами сравнимы или меньше, чем . Поэтому большое число подзон занято. В этом случае в сущности такое же, как классическая плотность инверсного заряда на единицу площади, даваемая выражением (2.4.7) в лекции 2:

. (9.4.1)

Однако, когда , расстояние между подзонами становится больше, чем , и становится значительно меньше, чем . Сравнение квантовомеханической зависимости (выражение (9.3.3)) с классической кривой (выражение (9.4.1)) на полулогарифмической шкале, показывает, что требуется дополнительный изгиб зон, чтобы достичь того же самого инверсного заряда на единицу площади как в классическом случае. Классическое условие порога, , поэтому должно измениться на , так, чтобы выполнялось условие

. (9.4.2) Величину квантового сдвига можно оценить исходя из предположения, что только самая нижняя подзона (дважды вырожденная, ) занята электронами, что справедливо при . В этом случае выражение (9.4.2) с учетом (9.3.3) и (9.4.1) принимает вид (учитывается только основное состояние):

,

откуда

. (9.4.3)

Рис 9.6 демонстрирует расчетное значение как функцию . Зависимость (9.3.3) представлена на рис.9.6 пунктирной кривой.

Зная , можно легко рассчитать сдвиг порогового напряжения вследствие квантового эффекта (смотри выражение (3.1.2а)):

, (9.4.4)

где как и ранее.

Рис.9.6. Дополнительный изгиб зон (сверх классического ), требуемый для достижения условия порога, как функция электрического поля на поверхности. Пунктирная кривая рассчитана при сохранении только наименьшего члена (дважды вырожденного) в выражении (9.3.3) [1].