3.2. Многофакторный дисперсионный анализ

Часто при исследованиях приходится иметь дело с одновременным влиянием нескольких факторов. Например – влияет ли на выбор потребителем конкретной торговой марки уровень образования и возраст?

Главное преимущество МДА в том, что он позволяет изучать взаимодействие факторов. Взаимодействия имеют место, когда эффекты одного фактора на зависимую переменную зависят от уровня других факторов.

Взаимодействие имеет место при оценке зависимости между двумя переменными, если влияние Х₁ зависит от уровня Х₂ и наоборот.

Сама процедура МДА аналогична процедуре однофакторного дисперсионного анализа. Статистики, соответствующие МДА также определяются аналогично определению статистик в ОДА.

Рассмотрим пример, в который входят факторы Х₁ и Х₂ с уровнями с₁ и с₂ соответственно. В этом случае полная вариация раскладывается следующим образом.

SS_полная = SS

за счет Х₁ + SS, Х₂ + SS и взаимодействия Х₁ и Х₂ + SS_внутри

Эту формулу можно записать по другому

SS_y = SS_x1 + SS_x2 + SS_x1x2 + SS_ошибкм

Большое влияние Х₁ будет выражаться в большом отличии среднего в уровнях Х₁ , а также более высоком значении SS_x1. Это же касается и фактора Х₂. Чем сильнее взаимодействие между факторами Х₁ и Х₂, тем больше значение SS_x1x2. С другой стороны, если Х₁ и Х₂ не зависят один от другого, то значение SS_x1x2 приближается к нулю.

Степень объединенного влияния, т.е. эффекта двух факторов называют полным эффектом или множественной корреляцией ², которая вычисляется по формуле.

(SS_x1 + SS_x2 + SS_x1x2)

² = 

SS_y

Значимость полного эффекта проверяется с помощью F-критерия

(SS_x1 + SS_x2 + SS_x1x2)/df_n SS_x1._x2._x1x2/ df_n MS_x1._x2._x1x2

F =  =  = ;

SS_ошибкм/df_d SS_ошибкм/df_d MS_ошибкм

где df_n – число степеней свободы для числителя, которое равно

(с₁ – 1) + (с₂ – 1) + (с₁ – 1) (с₂ – 1) = с₁с₂ -1

df_d – число степеней свободы для знаменателя, которое равно

N - с₁с₂

M – средний квадрат.

Проверка наличия различий между некоторыми из групп факторного эксперимента определяет значимость полного эффекта.

Если полный эффект статистически значимый, то на следующем этапе изучают значимость эффектов взаимодействия.

Если нулевая гипотеза утверждает, что взаимодействие между факторами отсутствует, то соответствующий F-критерий вычисляют по формуле

SS_x1x2/ df_n MS_x1x2

F =  = ;

SS_ошибкм/df_d MS_ошибкм

где df_n = (с₁ – 1) + (с₂ – 1)

df_d = N - с₁с₂

Значимость эффекта взаимодействия выявляется с помощью проверки взаимодействия между двумя или больше независимыми переменными. При этом, если окажется, что эффект взаимодействия статистически значимый, то эффект Х₁ зависит от Х₂ и наоборот. Поскольку эффект, т.е. влияние одного фактора является неоднородным, а зависит от уровня другого фактора, то проверять значимость главных эффектов бессмысленно. В то же время имеет смысл проверить значимость главного эффекта каждого фактора, если эффект взаимодействия статистически незначимый.

Значимость главного эффекта каждого фактора, например, для Х₁ можно проверить следующим образом

SS_x1/ df_n MS_x1

F =  = ;

SS_ошибкм/df_d MS_ошибкм

где df_n = с₁ – 1

df_d = N - с₁с₂

Все вышесказанное справедливо только тогда, когда план эксперимента сбалансированный, т.е. число случаев в каждой ячейке одинаково. В противном случае дисперсионный анализ усложняется.

При проверке различий в средних значениях зависимой переменной, связанных с влиянием контролируемых независимых переменных, часто необходимо учитывать неконтролируемые независимые переменные. Например, при определении влияния различных цен на потребление в семьях сухих завтраков может оказаться существенным такой фактор, как размер семьи. Для решения подобных задач служит