2.3. Определение зависимых и независимых переменных

Пусть Y – зависимая переменная, X – независимая переменная или категориальная переменная, имеющая с категорий (уровней групп). Для каждой группы Х существует n наблюдений Y.

Группы Полная

выборка

X₁ X₂ X₃ X_c

Y₁ Y₁ Y₁ Y₁ Y₁

Y₂ Y₂ Y₂ Y₂ Y₂

Внутригрупповая вариация . . Полная вариация

=SS_внутри . . = SS_y

. .

Y_n Y_n Y_n Y_n Y_N

Групповые средние Y₁ Y₂ Y₃……..Y_c Y

Межгрупповая вариация = SS_между

Из таблицы видно, что размер выборки в каждой группе Х равен n , а размер общей выборки N = n x c. Для упрощений допускают, что размеры выборок в группах переменной Х (так называемые групповые размеры) равны, но это допущение необязательно.

С целью изучения различий между средними однофакторный дисперсионный анализ использует разложение полной вариации, наблюдаемой в зависимой переменной. По сути это:

разделение вариации зависимой переменной на вариацию, обусловленную различием средних внутри групп плюс вариацию, обусловленную внутригрупповой изменчивостью.

Полную вариацию зависимой переменной Y обозначаемую SS , можно разложить на два компонента

SS_y = SS_между + SS_внутри

где нижние индексы (между и внутри) относятся к группам переменной Х.

SS_между – это вариация переменной Y, связанная с различием средних между группами переменной Х. Она представляет вариацию между категориями переменной Х (межгрупповая изменчивость). Другими словами,

SS_между – это доля в сумме квадратов переменной Y, обусловленная действием независимой переменной (фактором Х). Поэтому SS_между также обозначают как SS_x.

SS_внутри – это вариация зависимой переменной Y, связанная с вариацией внутри каждой группы переменной Х, а вычисляют ее, не учитывая фактор Х. Поэтому SS_внутри также называют дисперсией ошибки, т.е. SS_ошибки.

SS_y = SS_x + SS_ошибкм

где SS_y = ²

SS_x = ²

SS_ошибкм = ²

- отдельное наблюдение

- среднее для группы j

- среднее для всей выборки или общая средняя

- i-наблюдение в j-группе

Смысл разложения полной вариации в переменной Y, SS_y на компоненты SS_между и SS_внутри в том, чтобы наглядно представить, а затем изучить различия в групповых средних.

2.4. Измерение эффекта.

Сила влияния переменной Х на Y измеряется с помощью SS_x. Поскольку SS_x связано с вариацией средних значений групп Х, то относительное значение SS_x растет с увеличением различий между средними значениями Y в группах Х. Относительное значение SS_x также увеличивается при уменьшении вариаций Y внутри групп Х. Эффект влияния переменной Х на Y вычисляют по формуле

SS_x (SS_y - SS_ошибкм)

² =  = 

SS_y SS_y

Значение ² равно нулю, когда все групповые средние равны, т.е. переменная Х не влияет на Y. Значение ² равно единице, когда внутри каждой из групп переменной Х изменчивость отсутствует, но имеется некоторая изменчивость между группами. Вывод:

² представляет собой меру вариации Y, которая объясняется влиянием независимой переменной Х.

В то же время мы в состоянии не только измерять влияние Х на Y, но и проверить его значимость.