7.3. Вращение и интерпретация факторов.

Вращение факторов. Матрицу факторных нагрузок называют также матрицей факторного отображения. Она содержит коэффициенты, используемые для выражения нормированных переменных через факторы. Эти коэффициенты называют факторными нагрузками. Последние представляют собой корреляции между факторами и переменными. Если коэффициент имеет высокое абсолютное значение, то фактор и переменная тесно взаимосвязаны. Коэффициенты матрицы факторных нагрузок часто используют для интерпретации факторов.

Несмотря на то, что матрица исходных или неповернутых факторов указывает на взаимосвязь факторов и отдельных переменных, она редко приводит к факторам, которые можно интерпретировать, так как факторы коррелируют со многими переменными. Поэтому вращением матрицу факторных коэффициентов преобразуют в более простую, которую легче интерпретировать.

Вращение называется ортогональным, если при вращении сохраняется прямоугольная система координат. Самый распространенный метод вращения – это метод варимакс, который максимизирует дисперсию. Таким образом, метод варимакс – это ортогональный метод вращения факторов, который минимизирует число переменных с высокими значениями нагрузок, усиливая тем самым, интерпретируемость факторов. В результате ортогонального вращения получают некоррелированные факторы. Вращение называют косоугольным, если не сохраняется прямоугольная система координат и в результате получают коррелированные факторы.

Интерпретация факторов. Для интерпретации факторов необходимо определить переменные, которые имеют высокие значения нагрузок по одному и тому же фактору. После этого этот фактор анализируют с учетом этих переменных. Другое полезное средство интерпретации – графическое изображение переменных, координатами которых служат величины факторных нагрузок.

7.4. Вычисление значений факторов, отбор переменных-имитаторов и определение подгонки модели.

Вычисление значений факторов. После интерпретации факторов вычисляют их значения. Фактор представляет собой линейную комбинацию исходных переменных. Значение для i-го фактора можно вычислить по формуле

F_i = W_i1X₁ + W_i2X₂ + + W_iX_

Все обозначения аналогичны приведенным выше.

Веса или коэффициенты значения фактора, которые используются для объединения нормированных переменных, получают из матрицы коэффициентов значения фактора. Большинство компьютерных программ позволяют вычислить значения факторов. В анализе главных компонент можно вычислить точные значения факторов, эти значения не взаимосвязаны. В анализе общих факторов оценки значений факторов получают, однако нет гарантии того, что факторы не будут коррелировать между собой. Значения факторов можно использовать вместо исходных переменных в последующем многомерном анализе.

Отбор переменных-заменителей. Переменные-заменители – это часть набора исходных переменных выбранных для последующего анализа. Такой анализ позволяет интерпретировать результаты с точки зрения исходных переменных, а не значения факторов. Из матрицы факторных коэффициентов можно выбрать для каждого фактора переменную с наивысшим значением нагрузки на данный фактор. Далее эту переменную используют в качестве переменной-заменителя для соответствующего фактора. Этот процесс протекает гладко, если одна из факторных нагрузок переменной значительно выше остальных. Однако сделать выбор трудно, если нагрузки двух или больше переменных одинаково высокие. В таком случае выбор осуществляют исходя из теоретических предпосылок. Например, теоретически полагают, что переменная с несколько меньшей нагрузкой важнее, чем переменная с несколько большей нагрузкой. Аналогично, если переменная имеет несколько меньшую, но более точно измеренную нагрузку, то в качестве переменной-имитатора следует выбрать именно ее.

Определение подгонки модели. Последняя стадия факторного анализа заключается в определении соответствия модели факторного анализа исходным данным, т.е. фактически идет разговор о степени подгонки модели. Необходимо иметь в виду, что основное допущение, лежащее в основе факторного анализа, состоит в том, что наблюдаемая корреляция между переменными может быть свойственна общим факторам. А это значит, что корреляции между переменными можно вывести или воспроизвести из определенных корреляций между переменными и факторами. Изучив разности между наблюдаемыми корреляциями (имеются в виду данные в исходной корреляционной матрице), а также разности между вычисленными корреляциями, которые определяются из матрицы факторных нагрузок всегда можно определить соответствие модели исходным данным. Эти разности называются остатками. В частности, если много остатков с большими значениями, то факторная модель не обеспечивает хорошее соответствие данным и требует пересмотра.