3 Приложения теории подобия

3.1 Подобие центробежных насосов

Два центробежных насоса подобны, если их сходственные параметры пропорциональны и равны критерии подобия.

Представим перечнь параметров, характеризующих динамические насосы:

- диаметр (или другой характерный размер насоса), ;

- объемный расход (подача) насоса, ;

- частота вращения рабочего колеса, ;

- напор, создаваемый насосом, ;

- плотность жидкости, ;

- кинематическая вязкость жидкости, ;

- момент на валу насоса, ;

- гидравлическая мощность насоса, .

В качестве основных величин выберем плотность жидкости , диаметр и частоту вращения . Проверим независимость их размерностей относительно размерностей основных величин системы :

Определитель, составленный из показателей степеней,

.

Поэтому размерности величин являются независимыми.

Список параметров насоса представим следующим образом:

.

В первой круглой скобке – основные величины, во второй – производные. Найдем критерии подобия. Количество критериев подобия: 8-3=5.

Критерий будем искать в виде:

. (3.1)

Уравнение размерностей

.

Система уравнений для определения показателей степеней

Отсюда . Подставляя эти значения в выражение (3.1), получаем:

. (3.2)

Критерий подобия :

. (3.3)

Уравнение размерностей

.

Уравнения для определения показателей степеней

дают следующие решения: . Подставляя эти значения в (3.3), находим:

. (3.4)

Критерий подобия :

.

Уравнение размерностей

.

Система уравнений для показателей степени

имеет следующее решение: . Тогда для критерия подобия находим:

. (3.5)

Критерий подобия :

. (3.6)

Уравнение размерностей

.

Система уравнений для показателей

Её решение: . С учетом этих значений критерий подобия (3.6) принимает вид:

. (3.7)

Критерий подобия :

. (3.8)

Уравнение размерностей

.

Система уравнений для определения показателей степеней

Отсюда: . Критерий подобия (3.8) окончательно принимает вид:

. (3.9)

Из полученных критериев подобия для двух подобных насосов следуют важные соотношения, используемые при расчетах центробежных насосов.

1. Из формулы (3.2) очевидно, что

или

.

Отсюда

. (3.10)

2. Из выражения (3.7) получаем:

,

или

.

Отсюда

. (3.11)

3. Из формулы (3.9) находим:

или

. (3.12)

4. Из формул (3.10) и (3.12) получаем:

, (3.13)

. (3.14)

Так как , то разделив выражение (3.14) на (3.13), находим формулу, связывающую напоры подобных насосов:

.

Отсюда

. (3.15)

Выпишем формулы (3.10), (3.12) и (3.15), приняв в них (жидкость, перекачиваемая подобными насосами одна и та же):

; ; . (3.16)

Эти формулы позволяют производить пересчет параметров центробежных насосов с одной частоты вращения и диаметра рабочего колеса на другую частоту и другой диаметр .

Для одного и того же насоса и формулы (3.16) принимают более простой вид:

; ; . (3.17)

Пример 1. Частота вращения центробежного насоса изменилась с об/мин до об/мин. Во сколько раз увеличится подача, напор и мощность насоса. Рассматриваются подобные режимы насоса. При этом .

Формулы (3.17) приведем к виду:

.

Вычислим отношение .

. Подача увеличится в 1,17 раза.

. Напор увеличится в 1,36 раза.

. Мощность увеличится в 1,6 раза.

Пример 2. Центробежный насос с рабочим колесом, диаметр которого мм, при частоте вращения об/мин создает напор м и подает жидкость с расходом л/с. Требуется определить частоту вращения и диаметр колеса насоса, который при подобном режиме работы создает напор м и обеспечивает подачу л/с.

Для решения задачи будем использовать соотношения:

; (3.18)

. (3.19)

Из формулы (3.18) найдем

и подставим в выражение (3.19):

.

Отсюда

или

мм.

Частоту вращения определим из формулы (3.18):

об/мин.