2.3 Теоремы подобия

Подобные объекты (явления, процессы, системы) подчиняются общим закономерностям, которые принято называть теоремами подобия.

Первая теорема подобия

У подобных объектов некоторые безразмерные соотношения параметров, называемые критериями подобия, численно одинаковы.

Критерии подобия обозначают буквой , а первая теорема подобия кратко записывается так:

, ,

где - означает «одно и то же», одинаково для рассматриваемых объектов.

Вторая теорема подобия ( - теорема)

Эта теорема позволяет установить количество критериев подобия для рассматриваемых подобных объектов и может быть сформулирована следующим образом: если какой-либо процесс зависит от физических величин, из которых величин имеют независимые размерности, т.е. являются основными в системе единиц измерения, а величин являются производными, то из указанных величин можно образовать независимых безразмерных комплексов, т.е. критериев подобия.

Следствие из теоремы: физических величин в модели могут быть выбраны произвольно (например, из конструктивных соображений), а величин должны быть заданы «принудительно», исходя из критериев подобия.

Третья теорема подобия

Первая и вторая теоремы подобия получены на основе предположения о том, что подобие рассматриваемых объектов известно заранее.

Третья теорема устанавливает необходимые и достаточные условия подобия объектов: пропорциональность сходственных параметров объектов и равенство критериев подобия, в том числе критериев, составленных из величин, входящих в условие однозначности.

Условия однозначности (моновалентности) – это условия, выделяющие данный единичный объект из группы подобных объектов (например, граничные условия, начальные условия и т.п.).

Кроме теорем подобия существуют дополнительные положения о подобии сложных, нелинейных и анизотропных систем, систем с переменными параметрами [3].

2.4 Определение критериев подобия

Для нахождения критериев подобия могут быть использованы следующие способы.

Первый способ заключается в анализе уравнений, описывающих подобные объекты. Вводятся коэффициенты пропорциональности сходственных физических величин – масштабные коэффициенты. Используя масштабные коэффициенты, параметры модели выражают через параметры объекта – оригинала. Затем подставляют их в уравнение, описывающее модель. Требуют тождественности полученного уравнения и уравнения оригинала. Отсюда получают индикаторы подобия, а затем критерии подобия.

Второй способ основан на анализе размерностей физических величин, характеризующих подобные объекты и не требует уравнений, описывающих модель и оригинал.

Подробно рассмотрим второй способ.

Необходимо найти критерии подобия двух потоков жидкости. Каждый из них описывается следующими параметрами:

- линейные размеры, ;

- характерная скорость, ;

- плотность жидкости, ;

- перепад давления, ;

- касательное напряжение, ;

- ускорение свободного падения; ;

- динамическая вязкость, ;

- поверхностное натяжение, ;

- модуль упругости жидкости, .

Список параметров позволяет установить, что всего физических величин ; независимые размерности имеют три величины . Действительно, размерности величин

,

,

являются независимыми относительно основных величин системы , поскольку определитель, составленный из показателей степеней,

.

Так как , то в соответствии со второй теоремой подобия количество критериев подобия будет равно .

Как известно, критерий подобия – это безразмерный комплекс. Первый критерий подобия будем искать в виде:

, (2.1)

где - показатели степеней, подлежащие определению.

Очевидно, что

или

.

Приравнивая показатели степеней при одинаковых величинах в левой и правой частях последнего соотношения, находим систему уравнений для определения искомых показателей:

Отсюда следует: . Подставляя найденные показатели степеней в выражение (2.1), получаем:

.

Аналогичным способом может быть найден второй критерий подобия:

.

Следующий критерий подобия будем искать в виде

.

Для этого соотношения запишем уравнение размерностей

или

.

Приравнивая показатели степеней при одинаковых величинах в левой и правой частях, находим:

Решая эту систему, получаем: Следовательно

.

Аналогичным образом находятся остальные критерии подобия:

В соответствии с первой теоремой подобия у подобных потоков критерии подобия должны быть численно одинаковы:

,

,

,

,

,

,

,

.