2.5 Физическое моделирование потока жидкости
Рассмотрим основные этапы разработки физической модели потока жидкости. Схема моделируемого потока представлена на рис.3а.
Рис.3
Физическая модель потока изображена на рис.3б.
1. Схематизация потока жидкости. Она заключается в выборе тех физических величин, которые необходимы для полного (в рамках решаемой задачи) описания
потока. Пусть определяемыми величинами
являются перепад давления на трубе
и скорость
в заданной точке. Совокупность определяющих
величин:
- диаметры трубы,
- плотность жидкости,
- осевые геометрические размеры,
- динамическая вязкость жидкости.
2. Величины, характеризующие процесс.
Представим эти величины в виде списка,
предварительно выбрав в качестве
основных величин
.
Они имеют независимые размерности.
Проверим независимость размерностей
величин
по отношению к основным единицам системы
:
Действительно, определитель
,
а величины имеют независимые размерности.
Список величин, характеризующих поток:
. (2.2)
В первой круглой скобке – основные величины, во второй – производные.
3. Подобие рассматриваемых потоков будем устанавливать в духе третьей теоремы подобия. Для этого необходимо потребовать равенство критериев подобия и пропорциональность сходственных параметров объекта и модели.
Сходственные параметры – это одноимённые
параметры, принадлежащие моделируемому
объекту (имеют нижний индекс «
»)
и модели (нижний индекс «
»).
Воспользовавшись списком параметров (2.2), найдем критерии подобия. Согласно второй теореме подобия количество критериев равно трем. Для простоты нижние индексы при рассматриваемых величинах опустим.
1. Критерий :
. (2.4)
Уравнение размерностей
.
Уравнения для определения показателей степени
Отсюда:
.
Подставляя эти значения в (2.4), получаем:
.
2. Критерий :
. (2.5)
Уравнение размерностей
.
Уравнения для определения показателей степени
Отсюда:
Подставляя эти значения в (2.5), находим:
.
3. Критерий
. (2.6)
Уравнение размерностей
.
Уравнения для показателей степени
Отсюда следует:
.
Подставляя найденные значения показателей
степеней в формулу (2.6), получаем:
.
Введем масштабные коэффициенты, устанавливающие пропорциональность сходственных параметров:
(2.3)
Выразим параметры моделируемого потока через параметры модели и масштабные коэффициенты (2.3):
(2.7)
Критерии подобия
представим в виде:
(2.8)
Подставим соотношения (2.7) в (2.8). В результате получаем:
(2.9)
Для выполнения равенств (2.9) необходимо, чтобы комплексы из масштабных коэффициентов были равны единице:
(2.10)
Соотношения (2.10) называются индикаторами подобия. На шесть масштабных коэффициентов (2.3) наложено три условия (2.10). Это означает, что три масштабных коэффициента могут быть заданы произвольно, исходя из параметров моделируемого потока и физической реализуемости модели, а остальные три должны быть определены из индикаторов подобия (2.10).
Пусть масштабные коэффициенты
заданы. Остальные масштабные коэффициенты
могут быть найдены из индикаторов
подобия по формулам:
(2.11)
Соотношения (2.11) позволяют определить недостающие параметры модели и масштабные коэффициенты для перехода от измеренных в модели величин к сходственным величинам в моделируемом потоке.
По измеренным в модели параметрам
можно определить сходственные параметры
в моделируемом потоке:
