1.6 Составление критериального уравнения
Порядок составления критериального уравнения рассмотрим на примере механической колебательной системы с одной степенью свободы, изображенной на рис.1.
Рис.1
Здесь приняты следующие обозначения:
- масса колеблющегося объекта,
кг;
- жесткость упругого элемента,
Н/м;
- коэффициент сопротивления демпфера,
Н
с/м;
- перемещение объекта,
м;
- внешнее воздействие в виде прямоугольного
импульса,
Н;
- пиковое значение силового воздействия,
Н;
- длительность импульса внешней силы,
с;
- время,
с.
Составим список параметров системы:
.
Будем полагать, что этот список, в рамках
решаемой задачи, обладает свойством
полноты. В качестве основных примем
величины
.
Величины
будут производными. Кратко список
основных и производных величин представим
в виде:
.
В первой круглой скобке – основные
величины, а во второй – производные.
Возможен другой выбор основных величин. При этом необходимо, чтобы они имели независимые размерности в системе величин механики (см. приложение 3).
Размерности рассматриваемых величин:
Количество безразмерных комплексов (критериев подобия) определяет - теорема: из общего числа размерных величин, характеризующих процесс, необходимо вычесть число основных величин, имеющих независимые размерности. В нашем случае число критериев подобия равно четырём.
Для определения критериев нужно каждую
из величин
,
принятых в качестве производных,
поочередно разделить на произведение
основных величин, возведенных в некоторые
степени
:
(1.9)
(1.10)
(1.11)
(1.12)
Далее для каждого соотношения (1.9) – (1.12) составляется уравнение размерностей и определяются показатели степеней , которые затем подставляются в исходное выражение (1.9), (1.10), (1.11) или (1.12). Таким образом получаются безразмерные комплексы – критерии подобия.
1. Определение критерия подобия
.
Для формулы (1.9) составим уравнение
размерностей. Так как с одной стороны
,
а с другой
(величина
безразмерная),
то можно записать уравнение размерностей:
.
Приравнивая показатели степеней при одинаковых величинах в левой и правой частях, получаем систему уравнений для их определения:
Отсюда:
.
Подставляя эти значения в формулу (1.9),
находим:
. (1.13)
Величина
имеет размерность коэффициента
сопротивления
.
2. Определение критерия подобия
.
Уравнение размерностей, записанное для
формулы (1.10), имеет вид:
.
Отсюда находим систему уравнений для определения показателей степеней
Решая эти уравнения, получаем:
.
Подставляя найденные значения показателей
степеней в соотношение (1.10), находим:
. (1.14)
Величина
имеет размерность перемещения
.
3. Определение критерия подобия
.
Для соотношения (1.11) запишем уравнение
размерностей
.
Система уравнений для определения показателей степеней
Решение уравнений дает:
.
Подставляя полученные значения в (1.11),
находим:
. (1.15)
Величина
имеет размерность времени.
4. Критерий подобия
находится по формуле (1.12) аналогично
критерию
:
. (1.16)
Критериальное уравнение выражает в
общем виде зависимость между безразмерными
комплексами
:
или
.
Исходя из цели экспериментального исследования, критериальное уравнение можно представить в виде зависимости одного критерия подобия от других, например:
.
Следует заметить, что над критериями подобия можно выполнять операции умножения, деления, возведения в степень, извлечение корня, умножение на отвлеченное число, т.к. эти операции не изменяют безразмерности критериев. Это обстоятельство можно использовать, чтобы придать критериям более понятный физический смысл.
Обратимся к полученным критериям.
Критерий
(1.13) содержит величину
.
В теории колебаний используется понятие
критического коэффициента сопротивления
.
Критерий
можно заменить на критерий
.
Его физический смысл – относительный
коэффициент сопротивления демпфера.
Критерий
(1.14) содержит величину
,
которую можно рассматривать как
статическую деформацию упругого элемента
под действием постоянной силы, равной
пиковому значению
.
Обозначим эту величину через
.
Критерий
заменим критерием
.
Физический смысл этого критерия –
относительное перемещение объекта.
Критерий
(1.15) содержит величину
.
Известна формула для определения периода
собственных колебаний
.
Поэтому можно ввести критерий
,
характеризующий относительное время.
Критерий
(1.16) аналогичен критерию
(1,15).
В силу этого принимаем
.
Он определяет относительную длительность
импульса внешней силы.
Критериальное уравнение в новых критериях будет иметь вид:
.
Результаты эксперимента можно представить в виде графика зависимости относительного перемещения объекта от относительного времени при постоянных значениях относительного коэффициента сопротивления демпфера и относительной длительности импульса силы (рис.2).
Рис.2
Такое представление результатов эксперимента позволяет обобщить их на весь класс подобных механических систем с одной степенью свободы, находящихся под действием прямоугольного импульса внешней силы при нулевых начальных условиях.