Приложение 5 Составление критериального уравнения Порядок составления критериального уравнения

Составление критериального уравнения включает следующие этапы.

1. Составляется список параметров системы, например:

,

который в рамках решаемой задачи должен обладать свойством полноты. Далее из этого списка выделяют основные величины, имеющие независимые размерности . Остальные величины будут производными . Кратко список основных и производных величин можно представить в виде:

.

2. Количество безразмерных комплексов (критериев подобия) определяет - теорема: из общего числа размерных величин, определяющих процесс, необходимо вычесть число основных величин, имеющих независимые размерности. В нашем случае число критериев подобия – четыре.

3. Для определения критериев подобия нужно каждую из производных величин поочередно разделить на произведение основных величин, возведенных в некоторые степени :

,

,

,

.

Далее для каждого из записанных соотношений составляется уравнение

размерностей и определяются показатели степени , которые затем подставляются в исходные соотношения. Таким образом получаются безразмерные комплексы – критерии подобия.

4. Записывается критериальное уравнение, выражающее в общем виде зависимость между критериями подобия:

.

При необходимости критериальное уравнение может быть представлено в виде зависимости одного критерия от других, например:

.

Примеры составления критериальных уравнений

Пример 1. Течение вязкой жидкости в круглой цилиндрической трубе (рис.17).

Рис.17

Искомой величиной является перепад давления на трубе . Параметры, определяющие процесс:

- длина трубы, ;

- диаметр трубы, ;

- средняя скорость движения жидкости, ;

- плотность жидкости, ;

- динамическая вязкость, ;

- высота выступа шероховатости, .

1. Список параметров рассматриваемой системы

.

Величины имеют независимые размерности

,

,

,

т.к.

.

Поэтому список основных и производных величин примет вид:

.

2. Количество безразмерных комплексов (критериев подобия) в соответствии с - теоремой: 7-3=4.

3. Определение критериев подобия

Критерий :

. (п.7)

Составим уравнение размерностей:

.

Отсюда получаем систему уравнений для определения показателей степени

Решение этих уравнений дает: .

Подставляя полученные значения показателей степени в формулу (п.7), находим:

.

Критерий ищем в виде:

.

Уравнение размерностей

.

Отсюда

Показатели степени равны: .

С учетом найденных значений показателей степени критерий принимает вид:

.

Критерий

.

Уравнение размерностей

.

Уравнения для показателей степени

Показатели степени .

Критерий подобия

.

Критерий находится аналогично критерию и имеет вид:

.

4. Критериальное уравнение запишется следующим образом:

или

.

Разрешим критериальное уравнение относительно :

.

Если предположить, что течение жидкости в трубе является равномерным (характер течения и распределение скоростей не меняется вдоль трубы), то можно принять, что перепад давления будет пропорционален длине трубы. Тогда параметр может быть вынесен за знак функции в виде множителя:

.

Полученная формула может быть приведена к формуле Дарси-Вейсбаха для потерь напора по длине трубы. Принимая во внимание, что , получим:

,

где - коэффициент Дарси, зависящий от числа Рейнольдса и относительной шероховатости внутренней поверхности трубы.

Пример 2. Момент трения вращающегося диска (рис. 18).

Рис. 18

Искомая величина – момент на оси , .

Параметры, определяющие процесс:

- радиус диска, ;

- расстояние до стенки камеры, ;

- шероховатость диска, ;

- шероховатость стенки камеры, ;

- угловая скорость, ;

- плотность жидкости, ;

- динамическая вязкость, .

1. Список параметров системы

.

Список основных и производных величин

.

2. Количество критериев подобия: 8-3=5.

3. Определение критериев подобия.

Критерий :

;

;

;

;

.

Критерии . Находятся аналогично критерию и имеют вид:

.

Критерий .

;

;

;

;

.

Критерий .

;

;

;

;

.

4. Критериальное уравнение

.

Отсюда

,

где .

Рассмотрим величину . Этот критерий можно заменить критерием Рейнольдса , где - окружная скорость диска. Тогда

.

Величина может быть определена экспериментальным путем.

Пример 3. Вихревое обтекание тела (рис.19).

Рис.19

Необходимо определить период срыва вихрей , .

1. Процесс характеризуется следующими параметрами

.

Здесь: - характерный размер, ; - размер, определяющий форму тела, ; - скорость обтекающего потока, ; - плотность жидкости, ; - динамическая вязкость, .

Список основных и производных величин

.

2. Количество критериев: 6-3=3.

3. Определение критериев подобия.

Критерий

;

;

;

;

.

Критерий

;

;

;

;

.

Критерий

;

;

;

;

.

4. Критериальное уравнение

.

Отсюда

,

где – число Рейнольдса.

Величина может быть определена экспериментальным путем.

Пример 4. Сопротивление сферы при обтекании потоком вязкой жидкости. Искомая величина – сила сопротивления , . Параметры, определяющие процесс: - радиус сферы, ; - скорость обтекания, ; - плотность жидкости, ; - динамическая вязкость, .

1. Список параметров, характеризующих процесс:

.

Основные и производные величины

.

2. Количество критериев: 5-3=2.

3. Определение критериев.

Критерий

;

;

;

;

.

Критерий

;

;

;

;

.

4. Критериальное уравнение

или

,

где - коэффициент сопротивления, определяемый экспериментально.

Пример 5. Задача Стокса о падении шара малых размеров в вязкой среде под действием силы тяжести. Предполагается, что падение шара не вызывает турбулентности. Список параметров, характеризующих процесс:

- скорость шара, ;

- плотность шара, ;

- диаметр шара, ;

- плотность среды, ;

- динамическая вязкость среды, ;

- ускорение свободного падения, .

1. Список основных и производных величин

.

2. Число критериев: 6-3=3.

3. Определение критериев.

Критерий

;

;

;

;

.

Критерий

;

;

;

;

.

Критерий

;

;

;

;

.

4. Критериальное уравнение

или

.

Отсюда

или

,

где - коэффициент, определяемый экспериментально;

- число Рейнольдса.