1. Выполнить полное исследование функции зависимости прибыли фирмы п от объема производства q построить ее график.

2. Найти оптимальный для фирмы объем выпуска продукции и соответствующую ему прибыль.

a=7; b=0,01; c=5; p=10

Решение

Учитывая, что прибыль представляет собой разность между доходом и издержками, и подставляя численные данные, получаем явный вид зависимости прибыли от объема производства:

1) Выполняем полное исследование функции П(q)

1.1. Область определения D(П)=[0;+∞].

1.2. Находим первую и вторую производную П’(q) и П’’(q)

1.3. Находим критические точки, решая уравнение П^’(q)=0

1.4. Наносим критическую точку на числовую ось, и находим знак первой производной на каждом из получившихся интервалов:

Из рисунка делаем выводы о том, что функция возрастает при , а убывает при ; в точке q=10 функция имеет максимум.

Вычислим значение функции в этой точке:

1.5. Найдем точку перегиба графика функции, решая уравнение П’’(q)=0

Так как случай q=0 не представляет практического интереса, будем считать, что график функции точек перегиба не имеет.

1.6. Найдем, на каких интервалах график функции выпуклый, а на каких—вогнутый.

Так как на всей области определения, делаем вывод о том, что график функции выпуклый на всей области определения.

1.7. Сводим все полученные результаты в итоговую таблицу:

Таблица 1.

q	П’(q)	П’’(q)	П(q)	Примечания
0	+	—	-5	график выпуклый
(0;10)	+	—	↑	график выпуклый
10	0	—	15	максимум
(10;+∞)	—	—	↓	график выпуклый

1.8. Строим схематический график функции

Рис.2. График зависимости прибыли от объема выпуска продукции.

2) Очевидно, что оптимальным для фирмы является объем выпуска, равный 10, при этом прибыль будет максимальна и составит 15.

Ответ в данной задаче нет необходимости выписывать отдельно, так как он фактически содержится в таблице 1.

Список рекомендуемой литературы

1. Высшая математика для экономистов: Учебн. пособие для вузов/ Н.Ш.Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под. ред. проф. Н.Ш.Кремера— М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.—439 с.

2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник.— М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Издательство «ДИС», 1998. — 368 с.

3. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1 и 2.- М.: Высшая школа, 1982.

4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1989.

5. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики: Учебно-практическое пособие.—М.: Изд-во УРАО, 1998.—160 с.

6. Маркович Э.С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. -М.: Высшая школа, 1972.

7. Н.И. Меркулова , Л.М. Приходько. Высшая и прикладная математика - Волгоград, 1995.

8. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. — М.: «Дело Лтд», 1995 г. — 320 с.

9