7.3. Интегрирование рациональных дробей

Дробно-рациональной функцией называется функция вида: , где - многочлен степени m, - многочлен степени n.

Замечание. Если m < n, то рациональную дробь называют правильной. Если m  n, то рациональную дробь называют неправильной.

Пример 4. Найти интегралы функций:

a) .

Решение.

= ;

b) .

Решение.

;

c) .

Решение.

В таблице 8 приведены общие виды правильных рациональных дробей и способы их интегрирования с помощью замены переменной.

Таблица 8.

№	подынтегральное выражение	преобразования	замена	dx
I
II
III
IV				и раскладывается на сумму двух интегралов

m, n – натуральные числа (m  2, n  2) и D <0.

Подынтегральные выражения не вошедшие в таблицу 3 интегрируются с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Теорема (метод неопределенных коэффициентов). Если - правильная рациональная дробь, где знаменатель имеет вид:

P(x) = (x - a)^…(x - b)^(x² + px + q)^…(x² + rx + s)^ ) (причем множители типа x²+px+q неразложимы на действительные множители первой степени), то эта дробь может быть разложена на сумму простейших дробей:

где A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i – некоторые постоянные величины.

Пример 5. Найти интегралы функций:

a) .

Решение.

= .

Подынтегральное выражение представляется в виде суммы простейших дробей .

После освобождения от знаменателей, получается:

.

Сгруппировываются члены с одинаковыми степенями:

В итоге получается:

b) .

Решение. Так как дробь неправильная, то выделяется целая часть:

6 x⁵ – 8x⁴ – 25x³ + 20x² – 76x – 7 3x³ – 4x² – 17x + 6

6x⁵ – 8x⁴ – 34x³ + 12x² 2x² + 3

9x³ + 8x² – 76x - 7

9x³ – 12x² – 51x +18

20x² – 25x – 25

Следовательно,

Для нахождения корней уравнения применяем схему Горнера:

коэффициенты перед x
решение		3	– 4	– 17	6
	3	3	5	– 2	–
	– 2	3	– 1	–	–
	1/3	3	–	–	–

Получаются: .

Следовательно, корни этого уравнения: 3; -2; 1/3.

Отсюда .

Получившееся подынтегральное выражение раскладывается на элементарные дроби:

.

Применяем метод произвольных значений, суть которого состоит в том, что в полученное выражение подставляем поочередно (по числу неопределенных коэффициентов) значения х. Для упрощения вычислений принимают точки, при которых знаменатель дроби равен нулю. В нашем случае: 3, -2, 1/3. Получаем: .

В итоге получаем:

=