Рис.14

§7. Интегрирование функции одной переменной

7.1. Основные понятия неопределенного интеграла

Неопределенным интегралом функции f(x) называется множество всех первообразных функций F(x) + C.

Записывается: .

Первообразной функцией для функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), производная которой равна f(x) на рассматриваемом промежутке, то есть .

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Имеет место теорема: две различные первообразные одной и той же функции, определенной в некотором промежутке, отличаются друг от друга в этом промежутке на некоторое постоянное слагаемое.

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если:

1) она определена на этом множестве;

2) непрерывна в каждой точке этого отрезка, то есть справедливо равенство , где .

Теорема (условие существования неопределенного интеграла). Всякая непрерывная на отрезке [a, b] функция имеет на этом промежутке неопределенный интеграл.

Основные теоремы (свойства неопределенного интеграла):

1. где C-const.

2. .

3. .

4. где u, v, w – некоторые функции от х.

5. 

6. (Инвариантность формулы интегрирования). Если , то и , где - произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Ниже приводится таблица основных интегралов, которые используются при вычислениях неопределенных интегралов различных функций. Верность этой таблицы проверяется непосредственно дифференцированием.

Таблица 6.

Интеграл		Значение	Интеграл		Значение
1			11
2			12
3			13
4			14
5			15
6			16
7			17
8			18
9			19
10			20

7.2. Основные методы интегрирования

• Метод непосредственного интегрирования

Метод интегрирования основан на применении табличных интегралов, и называется непосредственным интегрированием. При этом данный интеграл может быть приведен к табличному с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла.

Пример 1. Найти интегралы функций:

a)

b)

;

с) .

• Замена переменной

Этот метод интегрирования основан на введении новой переменной интегрирования. Приведем пример: пусть дана сложная функция f(x), где - функция имеющая непрерывную производную . Применяется свойство инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла, получаем: .

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Пример 2. Найти интегралы функций:

a) .

Решение.

;

b) .

Решение.

;

с) .

Решение.

= = ;

d) .

Решение.

= .

При интегрировании заменой переменной важно удачно сделать подстановку. Однако нельзя дать общее правило выбора замены переменной для интегрирования любой функции. Это можно сделать только для интегрирования отдельных классов функций: рациональных, тригонометрических и т.д. (интегрирование этих классов функций предложены в таблицах 3 – 7).

• Интегрирование по частям

Этот метод интегрирования основан на применении формулы дифференцирования произведения d(uv)=udv+vdu и вычислении затем интеграла . Из этого равенства получаем формулу интегрирования по частям: .

Пример 3. Найти интегралы функций:

a) .

Решение.

Интегрируется по частям: пусть ; тогда , . Следовательно, .

Еще раз интегрируется по частям: пусть тогда . Получаем,

;

b) .

Решение.

Интегрируется по частям: пусть ; тогда . Следовательно,

;

c) .

Решение.

Интегрируется по частям: пусть ; тогда , . Следовательно, .

Получившийся интеграл вычисляется методом замены переменной:

. Тогда

;

d) .

Решение.

.

е) .

Решение.

Интегрируется по частям: пусть ; тогда . Следовательно,

;

g) .

Решение.

Интегрируется по частям: пусть тогда . Следовательно, .

Еще раз интегрируется по частям: пусть тогда . Получается,

=

= .

Обозначается, . Тогда .

Следовательно,

Приведем в таблице 7 некоторые распространённые случаи использования метода интегрирования по частям.

Таблица 7.

вид интеграла	метод интегрирования
, , , .	За u принимается многочлен , а за dv все остальные подынтегральные выражения.
, , , , .	За dv принимается , а за u все остальные подынтегральные выражения.
, , , .	Данные бесконечные интегралы, решаются как уравнения, после двукратного интегрирования по частям.
, , a > 0.	За dv принимается dх, а за u остальные подынтегральные выражения.