2.3. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

ДУ вида называются уравнениями с разделенными переменными. Решаются такие ДУ путем непосредственного интегрирования обеих частей равенства по соответствующим переменным.

Пример 3. Найти общее решение ДУ .

Решение. , , , – общий интеграл (общее решение).

ДУ вида называются уравнениями с разделяющимися переменными.

Для решения дифференциального уравнения данного вида необходимо перенести одно слагаемое в правую сторону: и разделить обе части на , получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными .

Пример 4. Решить ДУ .

Решение. . Делим обе части уравнения на

. (

.

2.4. Однородные дифференциальные уравнения

Если ДУ 1-го порядка можно записать в виде с помощью алгебраических преобразований, то это уравнение называется однородным дифференциальным уравнением.

Например, уравнение – однородное, так как .

Решают однородное уравнение заменой: или , тогда (если уравнение задано в дифференциалах, то ).

Пример 5. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Преобразуем данное уравнение к виду .

Сделаем замену , . Получаем уравнение . В результате преобразований его можно привести к виду . Таким образом, имеем ДУ 1-го порядка с разделенными переменными. Решая его, получим: . Так как , то . Получаем – общее решение данного ДУ.

2.5. Приводящееся дифференциальное уравнение

Пусть тогда:

- если , то полагают

Здесь и – const, определяемые из системы уравнений Так как то получим однородное дифференциальное уравнение относительно переменных и .

- если , то, полагая в уравнении , получим уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. , делаем замену , тогда .

Тогда – уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, получим . Вернемся к переменным и :

.

2.6. Линейные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение вида , где и – заданные функции (в частности, постоянные), называется линейным.

Рассмотрим два метода решения линейного ДУ – метод Лагранжа и метод Бернулли.

Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)

В общем случае, если , то уравнение называется линейным неоднородным ДУ (ЛНДУ) первого порядка. Рассмотрим соответствующее уравнение без правой части, т. е. уравнение . Оно называется линейным однородным ДУ (ЛОДУ) первого порядка. В этом уравнении переменные делятся: .

Метод вариации произвольной постоянной состоит в том, что постоянную С в полученном решении заменяют на функцию С(х). Тогда решение ЛНДУ находится в виде .

Находим производную: .

Подставляем у и в ЛНДУ:

,

.

Учитывая, что , запишем .

Интегрируя, находим .

Таким образом, получим общее решение ЛНДУ в виде

.

Пример 7. Решить ДУ .

Решение. Данное уравнение является линейным уравнением первого порядка. Здесь , . Решаем сначала однородное уравнение . Имеем или . Заменяем С на С(х), т. е. решение линейного уравнения ищем в виде . Тогда . Подставляя выражения для у и в уравнение, получим или . Отсюда находим С(х):

. Следовательно, – искомое решение.

.