Занятие 12

1. При обследовании читательских вкусов выяснилось, что 60% студентов читают журнал А, 50% – журнал В, 50% – журнал С, 30% – журналы А и В, 20% - журналы В и С, 40% – журналы А и С, 10% – все три журнала. Сколько процентов студентов

а) не читают ни одного журнала;

б) читают ровно два журнала;

в) читают не менее двух журналов?

2. Сколько натуральных трехзначных чисел не делятся ни на 3, ни на 5? Сколько среди них не делится ни на 3, ни на 5, ни на 7?

3. Найти сумму всех коэффициентов после раскрытия скобок и коэффициент:

а) при а¹⁵b¹⁰ в выражении ;

б) при х¹² в выражении .

4. Чему равна сумма:

а) ;

б) ?

5. Вычислить сумму всех коэффициентов после раскрытия скобок и коэффициент:

а) при t³ в выражении ;

б) при х⁵ в выражении .

6. Найти комбинаторную вероятность события:

а) извлеченная из колоды карта – это карта пиковой масти с картинкой;

б) при двукратном подбрасывании игральной кости в первый раз выпало меньше очков, чем во второй раз;

в) при подбрасывании двух костей в сумме выпало более 7 очков;

г) при подбрасывании четырех монет вторая монета упала «орлом» вверх.

7. В коробке лежат 5 карточек с буквами О,П,Р,С,Т. Из коробки последовательно наугад достают по одной карточке. Найти вероятность, что карточки будут вынуты в порядке СПОРТ, если

а) вынутые карточки обратно не возвращают;

б) вынутые карточки сразу же возвращают обратно в коробку.

8. В коробке лежат 5 карточек с написанными на них буквами О,П,Р,С,Т. Из коробки наугад достали три карточки. Какова вероятность, что из них можно будет составить слово СТО, если

а) вынули сразу все три карточки;

б) карточки вынимали по очереди и сразу же возвращали обратно?

Занятие 13

1. Какова вероятность того, что произвольно названный трехзначный автомобильный номер

а) состоит из различных цифр;

б) не содержит цифр 0 и 9;

в) начинается с цифры 1;

г) делится на 5?

2. Какова вероятность, что среди трех выбранных костей домино

а) нет ни одного дубля;

б) есть дубль «пусто-пусто»;

в) имеется хотя бы один дубль;

г) имеется ровно одна кость с шестью очками на одном поле?

3. Из коробки, в которой находится 3 белых и 5 черных шаров, наугад извлекают 4 шара. Чему равна вероятность того, что среди них

а) ровно 2 белых шара;

б) нет белых шаров;

в) белых шаров больше, чем черных?

Различаются ли вероятности, полученные в предположении, что шары не возвращали или возвращали?

4. Решить рекуррентное соотношение

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

5. Вычислить сумму

а) ;

б) .

Занятие 14

1. Автомат задан таблицей переходов. Построить его диаграмму Мура. Считая, что начальным состоянием автомата является состояние 0, найти самое короткое слово, принимаемое этим автоматом. Указать ещё по два слова, принимаемых и отвергаемых данным автоматом.

а)

	0	1	2*	3	4*
a	1	0	2	4	2
b	3	4	1	2	1

б)

	0	1	2	3	4*	5*
a	3	0	0	1	1	4
b	0	2	5	2	2	0

2. Инициальный автомат с начальным состоянием 0 задан таблицей выходов и переходов. Построить его диаграмму Мура. В какое слово преобразует этот автомат заданные слова и в каком состоянии он окажется в момент остановки:

а) bacc, acbba;

	0	1	2
a	b,2	a,0	b,2
b	a,1	c,2	a,1
c	c,1	b,1	a,0

б) cabac, bcaacc?

	0	1	2
a	c,1	b,0	a,0
b	a,0	c,0	b,1
c	a,1	a,2	b,2

3. Автомат задан таблицей переходов. Описать язык, распознаваемый данным автоматом, если он стартует в состоянии 0, а его финальными состояниями являются состояния 0 и 3.

а)

	0	1	2	3	4
a	1	2	3	4	4
b	3	0	4	3	4

б)

	0	1	2	3
a	3	1	2	3
b	2	3	1	3
с	1	2	2	3

4. Выписать все слова длины не более m, принадлежащие языку, заданному регулярным выражением

а) a*bb* + (ba)*, m = 4; б) (a* + b)ab*, m = 5.

5. Упростить регулярное выражение

а) 0+1·1*·0+1*·1; б) Λ+1+1·0*·1+1*·1.

6. Задать регулярным выражением язык, образованный всеми словами в алфавите {0,1},

а) которые содержат хотя бы раз символ 1;

б) которые имеют четную длину и начинаются с символа 0;

в) в которые символ 0 входит четное число раз;

г) которые содержат подслово 010;

д) кроме слова 01;

е) кроме слов 1 и 111.