4. Геометрическое решение поставленной задачи

На проекции плоскости РР' строятся линии ограничений, определенные неравенствами. Для построения ограничений знаки неравенств заменяются на «=» и строим прямые.

Графическое представление функции цели строится на основе выражения (1) и является плоскостью Р, уходящей в бесконечность при неограниченном возрастании х_щ и х_д. При наличии ограничений вида (2)-(7) возможные решения могут принадлежать лишь тем точкам плоскости Р, в которых одновременно удовлетворяются все ограничения. Совокупность этих точек определяет область допустимых решений (ОДР). Построение этой области проводится в системе координат х_щОх_д.

Рис. 2. Графическая интерпретация области допустимых решений и процедуры поиска оптимального решения.

Построенная область допустимых решений показана на рис.2. Здесь многоугольник АВСDE является областью допустимых решений, ибо в каждой точке этой области выполняются все ограничения и любые решения в данной области допустимы. Их количество бесконечно, но среди них находится одно, которое является наилучшим, исходя из заданного критерия (дохода), т.е. оптимальным. Поиск оптимального решения производим посредством определения направления, в котором возрастает функция цели у = 55х_щ + 80х_д. Определяем направление возрастания целевой функции и производят перемещение прямой у в этом направлении до достижения его границы перехода в область недопустимых решений. Э той границей является точка пересечения прямых (2) и (7) – точка D.

Значения объемов х_щ и х_д в оптимальной точке D определяем решением системы уравнений, описывающих прямые (2) и (7):

1,35х_щ + 2,5х_{д =} 80

х_д = 0

Результат решения системы уравнений: х_д = 0 м³; х_щ=59,26. При таких значениях сменных объемов производства технологической щепы и тарной дощечки доход от их реализации у=55*59,26+0*80=3259,3 рублей/смену.

По результатам эвристического решения доход составлял 3185 рублей. Сопоставляя итоги эвристического и геометрического решения, отметим, что наш выбор в первом случае оказался неэффективным сравнительно с выбором, реализованным на основе геометрического решения. Величина потерь по доходу составила 74,3 рублей. В год эта сумма при двухсменном режиме работы и количестве рабочих дней в году, равном 250, составит 74,3*2*250=37150 рублей. Следовательно, геометрическое решение наиболее выгодно для данной задачи.

5. Эффективный выбор технологических и управленческих решений в ситуации изменения ресурсов сырья, спроса и цен.

5.1. Первая задача анализа на чувствительность

Эта задача отвечает на вопрос: насколько можно сократить или увеличить сменный объем производства технологических дров и отходов лесопиления и ресурсы спроса на технологическую щепу и тарную дощечку В свою очередь, она подразделяется на две подзадачи, отвечающие на 2 вопроса.

В этой связи задача анализа на чувствительность может формулироваться следующим образом: а) определение предельно допустимого увеличения объема дефицитного ресурса при одновременном улучшении оптимального решения; б) определение предельно допустимого снижения объема недефицитного ресурса, не ухудшающего оптимального значения целевой функции.

Подзадача А: насколько можно увеличить сменный объем производства технологических дров и отходов лесопиления или их сменных запасов для улучшения полученного оптимального значения у?

Определим первоначально объем допустимого увеличения ресурса технологических дров. Из рис. 3 видно, что при увеличении запаса этого ресурса прямая (отрезок СД) перемещается вверх параллельно самой себе, до токи Е. В точке Е ограничения (2) и (7) становятся связывающими (дефицитными) и оптимальному решению соответствует точка Е.

В этой связи поднимать уровень запасов технологических дров выше точки Е (см. положение линии 2") не рационально, поскольку в сложившейся ситуации возникает проблема утилизации избыточных запасов. Предельный уровень запасов технологических дров определяется следующим образом. Определяются координаты точки Е из системы уравнений, описывающих ограничения, линии (3) и (6),

0,45х_щ + 1,5х_д =28

х_д = 0

решив которую, имеем х_щ = 62,22 м , х_д = 0 м . Затем, подставив координаты точки Е в левую часть уравнения (2), определяем максимально допустимый запас отходов лесопиления

1,35х_щ + 2,5х_д = 1,35*62,22 + 2,5*0=83,997 м³.

Величина допустимого увеличения объема технологических дров по сравнению с прошлым составляет 3,997 м³.

Рис.3. Графическая интерпретация анализа на чувствительность по дефицитному ресурсу технологических дров.

Определяем объем допустимого изменения ресурса отходов лесопиления (рис 4.) при этом прямую (3) перемещаем в направлении возрастания до момента перехода этого ресурса из разряда дефицитных в недефицитные. Происходит это в точке J, где пересекаются прямые (4) и (5). Отсюда, решая систему уравнений

х_щ =х_д

х_д = 20

имеем х_щ = 20 м³; х_д = 20 м³ и запас отходов лесопиления можно увеличить до 0,45*20+1,5*20=9+30=39 м³. Объем допустимого превышения над прошлым уровнем отходов лесопиления составляет 11 м³.

Рис.4. Графическая интерпретация анализа на чувствительность по недефицитному ресурсу отходов лесопиления.

Рис. 5. Графическая интерпретация анализа на чувствительность по недефицитному ресурсу спроса на тарную дощечку.

Решение подзадачи Б производится в ходе проверки на чувствительность при уменьшении правых частей несвязывающих ограничений (4) и (5). Ограничение и его линия (5) фиксируют предельный объем спроса на тарную дощечку: если производить больше 20 м³, то произойдет затоваривание.

Из рис. 5. следует, что прямую (5), не изменяя оптимальное решение, можно снижать до точки D. Координаты точки D определены ранее и составляют х_щ=59,26 м³; х_д=0 м³. Отсюда, предельная величина снижения спроса на тарную дощечку составит 20-0=20 м³. Дальнейшее снижение ресурса спроса на тарную дощечку невозможно.

Ограничение (4) и его линия на графике (рис. 6) характеризуют соответствие между объемами ежесменных продаж технологической щепы и тарной дощечки. Правую часть ограничения (4) можно уменьшать до тех пор, пока прямая (4) не достигнет точки D. Для удобства поиска величины снижения преобразуем неравенство (4) х_щ-х_д≥0 в неравенство вида -х_щ+х_д≤0. Подставляя координаты точки D в преобразованное неравенство, имеем -59,26 + 0= -59,26 м³, то есть 59,26 м³ может достигать разность между объемами реализации технологической щепы и тарной дощечки без ущерба для дохода.

Рис. 6. Графическая интерпретация анализа на чувствительность по недефицитному ресурсу спроса на технологическую щепу.

Сведем результаты анализа в табл.2.

Таблица 5.1