4. Основные законы применяемые для составления описания элементов сар. Уравнение емкости, как объекта управления.

Для получения описаний уравнений элементов используются физические законы, определяющие их поведение в системе. Обычно такими законами являются:

второй закон Ньютона в виде

для описания прямолинейного движения тела (m – масса, F – движущая сила, - линейная скорость движения ), а также для описания вращательного движения тела в виде

- для описания вращательного движения,

- момент инерции вращающейся массы, - вращающий момент, - угловая скорость);

закон сохранения энергии в виде - для описания изменения температуры тела c массой и удельной теплоемкостью « » под действием теплового потока ;

уравнение состояние газа в виде - для установления математической связи давления газа , его температуры и объема физически однородной системы в состоянии термодинамического равновесия (R – газовая постоянная, - масса газа).

Кроме указанных применяются и другие законы физики, например, устанавливающие связь между электрическими переменными и параметрами различных электромеханических устройств, применяемых в системах управления и т. д.

Математическое выражение физического закона, который описывает процесс, протекающий в данном элементе, является исходным уравнением.

Рассмотрим пример. Пусть требуется получить уравнение для емкости с газом, рис.1. При этом емкость будем рассматривать как объект, в котором требуется регулировать давление газа. Обозначим через Р_г, Т_г и V_г соответственно давление, температуру и объем газа в емкости. Массовые расходы газа в емкость и из емкости обозначим соответственно символами G_П и G_B.

Исходным уравнением, отражающим термодинамическое равновесное состояние газа в емкости, служит уравнение состояния

. (1.9)

Дополняющими уравнениями являются зависимости, определяющие расходные характеристики:

Можно упростить, считая, что T_г = соnst и ς = сonst. В этом варианте можем записать, что :

G_П = f_П ( Р_г); (1.10)

G_В = f_В (Р_г , r).

Расходные характеристики часто задаются в виде экспериментальных зависимостей. В данном случае эти характеристики являются нелинейными и имеют вид некоторых условных кривых, представленных на рис.

Р_г,0

Для составления уравнения емкости запишем уравнение состояния в виде

= . Далее можно записать . Последнее выражение также соответствует записи . Приравнивая правые части двух равенств , получим искомое уравнение

(1.11)

Так как зависимости G_B и G_П нелинейные (см.рис.), то и полученное уравнение является нелинейным. Уравнение (1.11) можно записать в символическом виде

F ( ) = 0. (1.12)

Видно, что в данном уравнении две переменные: и . Так как емкость рассматривается как объект регулирования, то можно утверждать, что давление газа в емкости является регулируемой величиной, а перемещение заслонки - регулирующим воздействием.

5. Формы записи линеаризованных уравнений..

В

теории автоматического управления применяются две стандартные формы записи дифференциальных уравнений элементов.

Дин. звено

отклонения переменных от своих установившихся значений

Первая форма записи.

(1.19)

В уравнении коэффициенты и называют коэффициентами передачи, а коэффициенты и постоянными времени. В случае элементов, у которых переменные и имеют одинаковые размерности для коэффициентов и используются и другие названия:

коэффициент усиления - для усилителей сигналов;

передаточное число – для редукторов, делителей напряжения и др

Постоянные времени и имеют размерность времени. Размерности коэффициентов передачи связаны с размерностями переменных и могут быть определены из уравнения (1.19). Оператор дифференцирования имеет размерность

Вторая форма записи. В теории автоматического регулирования широко применяется понятие передаточной функции.

Передаточной функцией САР или другого какого-либо устройства называется отношение преобразования Лапласа выходной величины к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция является второй формой записи дифференциальных уравнений элементов САР. Например, уравнение

в этой форме должно иметь вид

. (1)

Из этого же уравнения следует, что

. (2)

Видно, что при нулевых начальных условиях отношение изображений Лапласа входного и выходного сигналов (1) совпадает с отношением их оригиналов (2). Поэтому в теории управления последнюю запись принимают за передаточную функцию, считая ее второй формой записи..