4.2.1. Определение давления в любой точке.

Проекции единичных массовых сил на оси (рис.4.1б)

Ox: X = - jCosα=-aCosα, (4.9)

Oz : Z =-( jSinα+g)=-(αSina+g), (4.10)

Оу: Y = 0. (4.11)

При подстановке этих проекций в дифференциал давления, получим

dp = ρ [– (aCosα)dx -(aSinα + g)dz]= –ρ [ (aCosα)dx+(aSinα + g)dz]. (4.12)

Проинтегрировав этот дифференциал, получим выражение для давления

Р = -ρ[aCosα*x+(aSinα + g)*z] + С. (4.13)!!!

При начальных условиях: х₀, z₀, Po, (рис.4.1а) получим

C = P₀ + ρ[aCosα*x_o+(aSinα + g)*z₀], (4.14)

подставляем С в (4.13).

Давление в любой точке жидкости, находящейся в относительном покое при прямолинейном равноускоренном движении.

Р = P₀+ρ[(aCosα)*(x₀-х)+ (aSinα + g)*(z₀ – z)]. (4.15)

4.2.2. Определение положения свободной поверхности

На произвольной поверхности равного давления Р → const, поэтому

дифференциал давления dp=0. Дифференциальное уравнение поверхности

X*dх+У*dy+Z*dz = 0, (4.15),

подставляем проекции (4.9,4.10,4.11) ускорения в (4.15)

-[aCosαdx+(αSina+g)dz]=0. (14.16)

После интегрирования

- [aCosα*x+ (aSinα + g)*z] +С₁ = 0. (4.17)

Изменяя начальные условия, получаем в жидкости поверхности равного давления параллельные свободной поверхности (изобарические).

Семейство поверхностей параллельно оси Y, одна из них - свободная поверхность.

Подставив начальные условия в формулу (4.15) х₀, z₀, находим для свободной поверхности

С₁ = aCosα x₀+ (aSinα + g)* z₀

Получаем уравнение свободной поверхности

Связав в этом уравнении координаты z и x, получим уравнение прямой линии, как проекции свободной поверхности на вертикальную плоскость, β – угол наклона этой линии к оси х, связанной с сосудом

(4.18)

,

где tgβ - тангенс угла наклона пьезометрической поверхности к оси Х.

Для определения положения свободной поверхности жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно и равноускорено к уравнению (4.18) нужно добавить уравнение объемов, т. е. нужно знать первоначальный объем жидкости в сосуде и выразить его через размеры сосуда В и уровень Н жидкости в нем. Используя величины В и Н найдем Хо, Уо.

Сосуд (рис.4.2а) движется по горизонтальной плоскости с постоянным ускорением а. Рассматривая равновесие частицы, находящейся на оси симметрии и поверхности жидкости, построим план ускорений, приложенных к частице.

Треугольник плана ускорений и треугольник с катетами ΔН и В/2 – подобны.

Положение свободной поверхности определиться углом β.

Если сосуд движется по наклонной плоскости (рис. 4.2б) под действием только силы тяжести, проектируем ускорение свободного падения g на ось параллельную плоскости - gSinα (с минусом, так как заданная ось Х направлена в противоположную сторону) и на горизонтальную ось Х.

Проекции ускорений на оси zOx

получим уравнение свободной поверхности в координатах zOx, и при отсутствии трения, получим угол β=α, тогда свободная поверхность горизонтальна.

Если сосуд движется вниз вертикально (рис.4.2в), j=-a, q=a-g, если сосуд движется вверх (рис.4.2г) q=a+g.

Можно также использовать суммарную массовую единичную силу q для определения давления в любой точке.

.

Рис.4.2.Движение сосуда по наклонной плоскости по горизонтальной плоскости (а), под действием собственного веса (б), вниз с ускорением(в), вверх с ускорением(г).

Возьмем на рис.4.1 около точки М площадку dS, параллельную свободной поверхности, и на этой площадке построим цилиндрический объем с осью, нормальной к свободной поверхности. Условие равновесия указанного объема жидкости в направлении нормали к свободной поверхности будет иметь вид

РdS = P₀dS + q(ρl_MdS),

где последний член представляет собой полную массовую силу, q – суммарная единичная массовая сила, М = ρl_MdS - масса выделенного объема жидкости, l — расстояние от точки М до свободной поверхности. После сокращения на dS получим давление в точке

Р = P₀ + qρl_M, (4.19)