Анализ чувствительности решения оптимизационной задачи

Существует целый ряд ситуаций, когда при принятии решений используются методы линейного программирования. Существует три аспекта решения оптимизационных задач, которые следует рассмотреть при принятии решений:

1. Воздействие дополнительного количества дефицитного ресурса.

2. Воздействие дополнительного количества бездефицитного ресурса.

3. Воздействие изменений в коэффициентах целевой функции.

Рассматривается воздействие дополнительного количества дефицитного ресурса на примере следующей задачи.

Завод выпускает два типа деталей: А и В. Исходные данные приведены в таблице 1.

Таблица 1

Ресурсы	Запас ресурса в неделю	Нормы расхода ресурса на одну деталь
		А	В
Фонд рабочего времени	4 000 чел-ч	1 чел-ч	2 чел-ч
Металлические стержни	10 000 кг	2 кг	5 кг
Листовой металл	10 000 кг	5 кг	2 кг
Доход от продажи одной детали(у.е.)		30	40

Производственные мощности позволяют выпускать максимум 2250 деталей типа А и 1750 деталей типа В в неделю. Еженедельно завод поставляет не менее 600 деталей типа А постоянному заказчику. Существует профсоюзное соглашение, при котором еженедельно выпуск деталей не должен быть меньше 1500 штук. Требуется найти план производства, при котором еженедельный доход завода будет максимальным, и определить до какого момента будет эффективным увеличение фонда рабочего времени.

Математическая модель задачи имеет вид:

Z=30x+40y->max (1)

(2)

З адача может быть решена графически. Допустимое множество решений задачи заштрихованная область на рис.1.

С

Рис.1

Точкой максимума функции Z является точка С, координаты которой определяются из системы уравнений

(3)

Решение системы (3): x=1500 y=1250

Z_max=30· 1500+40· 1250=95000 у.е.

Одним из дефицитных ресурсов в данной задаче является фонд рабочего времени. Если его увеличить на 1 чел-ч, то координаты точки максимума определятся из системы уравнений

(4)

Решение системы (4): x=1499,75 y=1250,625

Новое максимальное значение целевой функции Z_max=95017,5. Значение целевой функции увеличилось на 17,5 у.е. Это есть двойственная оценка трудового ресурса или теневая цена ресурса.

Материал поступил в редколлегию 27.04.2017

УДК 519.2

Блинникова Н.И.

Научный руководитель: доцент кафедры «Высшая математика»,

к.т.н. А.И. Горелёнков

mega.blinnikova@mail.ru

Применение теории вероятностей при анализе днк

Объект исследования: анализ ДНК.

Результаты, полученные лично автором: рассмотрены некоторые методы теории вероятностей при анализе ДНК.

С середины 1980-х годов анализ ДНК начал использоваться в судебных разбирательствах для установления отцовства, родства между людьми, а также для определения вины или невиновности подозреваемых.

Суть этого анализа заключается в сравнении ДНК детей и их предполагаемых отцов либо в сравнении ДНК, взятого из образцов, найденных на месте преступления, с ДНК подозреваемого или подозреваемых. Методы анализа ДНК постоянно улучшались, и сегодня он служит основным доказательством во многих судебных процессах ввиду значительного разнообразия ДНК разных людей, даже если они принадлежат к одной и той же этнической группе. Эти методы стали очень популярными после использования в некоторых судебных процессах, а также после выхода на экраны криминальных сериалов. Не все знают, что при анализе ДНК используются методы теории вероятностей, которые дали начало отдельной дисциплине – судебной статистике.

Мы не будем говорить о том, как именно анализируется ДНК, но расскажем, каким образом теория вероятностей помогает определить виновность подозреваемого. Рассмотрим упрощенный и не вполне реалистичный пример, который, однако, будет вполне показательным. Было совершено преступление, полиция собрала образцы ДНК и задержала подозреваемого, у которого также были взяты образцы ДНК на анализ. Допустим, что каждый образец ДНК представляет собой простой тип данных. Хотя в реальном суде чаще всего рассматривается несколько возможных исходов, мы ограничимся двумя вариантами: подозреваемый виновен (В) или невиновен (Н). Суд примет окончательное решение по результатам анализа ДНК. Следовательно, цель анализа – выбрать одну из двух следующих гипотез.

1.  Оба образца принадлежат одному человеку (В).

2.  Образцы принадлежат разным людям (Н).

Обозначим через Еv ситуацию, в которой образец ДНК, взятый на месте преступления, совпадает с образцом ДНК подозреваемого, через S – остальные ситуации.

Нужно использовать теорему Байеса, согласно которой для двух данных событий А и В и условной вероятности события А при условии наступления события В Р(А|В) и при условии, что Р(В) ≠ 0, справедливо равенство:

Р(А\В) = (Р(В\А)Р(А))/Р(В).

Использовав условные вероятности и теорему Байеса, получим отношение вероятностей того, что подсудимый виновен, и того, что он невиновен:

Из этого выражения следует, что нужно определить две основные вероятности: вероятность события Еv в случае, если подозреваемый виновен, и вероятность наступления этого события в случае, если он невиновен. Здесь недостаточно рассмотреть только вероятность наступления этого события в случае, когда подозреваемый невиновен, и на основании малого значения этой вероятности сделать вывод о виновности подозреваемого. Также следует принять во внимание вероятность наступления этого события в случае, если подозреваемый виновен. Следует отметить, что эти две вероятности не соответствуют противоположным событиям, и обе они могут быть очень малыми.

Подобные тонкости рассматривают адвокаты и прокуроры, и неверное толкование этих понятий теории вероятности может привести к тому, что невиновный окажется в тюрьме, а виновный – на свободе. Приемы, которые используют адвокаты, имеют мало общего с теорией вероятности и касаются трактовки вероятностей в пользу той или иной стороны. Выражение, приведенное выше, также показывает зависимость вероятности того, что подсудимый виновен, от результатов другой процедуры (S), которую не следует недооценивать.

Определение вероятностей наступления события Еv в случае, когда подозреваемый виновен или невиновен, является одним из источников противоречий в судебных процессах, в которых используется анализ ДНК. Методы анализа позволяют максимально точно установить вину подсудимого: так, используются референтные группы, разбитые по национальности и полу. Однако во многих случаях эту задачу решить не удается, так как вся информация о том, как именно были сформированы базы данных и проведены вычисления, обычно недоступна. Кроме того, при анализе ДНК, как правило, рассматривается множество маркеров, поэтому вероятность того, что все они присутствуют в образце, равна произведению отдельных вероятностей, если мы будем считать, что все эти маркеры присутствуют в ДНК независимо друг от друга (этот вопрос является предметом для дискуссий).

Материал поступил в редколлегию 25.04.17

УДК 511.36

И.В. Бондарева

Научный руководитель: профессор кафедры «Высшая математика»,

д.-ф.-м.н. В.Х. Салихов

innagorda@ya.ru